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Niveau seconde
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Problème avec deux inconnues

Posté par
loganinho13
15-08-19 à 16:38

Bonjour, j'aimerais que quelqu'un m'aide à résoudre un problème de math qui sera imposé à mon examen de repassage.

Un pecheur d'étang désire construire une barge, pour des raisons de coût le perimètre ne peut dépasser 18m. Il désire obtenir une surface la plus grande possible
Détermine: x et L pour que l'aire soit maximale
                          les valeurs maximale de l'aire
Je ne peux guerre vous donner le schéma de a barge alors je vous la décrit: il y a un triangle isocèle et rectangle, collé au largeur d'un rectangle, nous recherchons donc "X" qui sont les deux côtés collés à l'angle de 90 degrés du triangle,  et les longueurs "L" du rectangle.

Pour le périmètre j'en ai déduis: 2x + 2L + y (largeur du rectangle) </ 18 (plus petit ou égal)
Pour l'aire: (x . x . sin(45) ) divisé par 2 + (L . y ) une fois tout simplifier j'obtiens : (x^2
+ raciné carrée de 2 ) divisé par 2 + (L . y)

Posté par
loganinho13
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 16:39

je voulais aussi remercier ceux qui prendront le temps de m'aider . Bonne journée

Posté par
carita
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 16:47

bonjour

ce serait plus clair avec le dessin.
... peut-être que tu pourrais ramener à une seule inconnue.

Posté par
loganinho13
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 17:02

la forme correspondrait +/- au panneau

Problème avec deux inconnues

Posté par
carita
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 17:50

tu es en seconde en Belgique ? (donc en 1ère équivalent en France?)
je te demande ceci pour savoir si tu as appris les dérivées.

pour établir la fonction à étudier, il faut déjà savoir quelle variable tu vas garder.
là, tu en as 3 : x, L et y

l'astuce va consister à exprimer L et y en fonction de x.

1) ce que tu appelles y, si j'ai bien compris le dessin, c'est la diagonale du carré de coté x.
donc y = ...? * x  ---  tu as ainsi y en fonction de x

2) pour simplifier, on va établir non pas une inéquation ( 18) mais une équation (... = 18)
==> cela te permettra d'exprimer L en fonction de x

je n'ai pas encore vérifié les formules que tu as établies,
mais en injectant L et y en fonction de x, tu vas obtenir une fonction "aire" avec  seulement "du x"

Posté par
loganinho13
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 17:54

je ne comprends pas où vous voulez en venir car pur moi y correspondait à la largeur du rectangle, et donc le troisième côté du triangle

Posté par
loganinho13
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 17:56

et non nous n'avons pas vu les dérivés cette année, notre prof nous l'a mis au programme de l'année prochaine

Posté par
carita
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 18:01

loganinho13 @ 15-08-2019 à 16:38

...Pour l'aire: (x . x . sin(45) ) divisé par 2 + (L . y )...


pourquoi multiplier par sin(45) ?
le triangle est isocèle rectangle (...non?) donc son aire est la moitié du carré de coté x, soit x²/2

il s'agit bien de cette configuration?
Problème avec deux inconnues

Posté par
loganinho13
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 18:03

je n'avais pas pensé à faire comme ça mais vous avez raison

Posté par
carita
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 18:03

je veux en venir à établir une fonction à une seule variable,
dont tu puisses étudier les variations, par exemple au moyen d'excel ou de goégébra,
et répondre ainsi à la question posée,
étant donné que tu n'as pas encore vu les dérivées pour pouvoir faire par calcul.

Posté par
loganinho13
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 18:10

ok je vois où vous voulez en venir maintenant, mais je ne vois pas comment

Posté par
carita
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 18:17

je t'ai indiqué le comment à 17h50
points 1) et 2)

1) pour exprimer "ton" y (diagonale) en fonction de x --- Pythagore si besoin...

2) et L en fonction de x  :

loganinho13 @ 15-08-2019 à 16:38

... périmètre : 2x + 2L + y =18

Posté par
Pirho
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 18:27

Bonjour à vous deux,

juste une intrusion!

Citation :
dont tu puisses étudier les variations, par exemple au moyen d'excel ou de goégébra,


carita  : je n'ai pas regardé en détail mais je pense que çà conduit à une équation du second degré. Si tel est le cas, pourquoi ne pas utiliser la forme canonique?

Posté par
carita
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 18:32

bonjour Pirho

ah oui, bonne idée pour étudier la variation et déterminer l'extremum.

je n'ai pas fait les calculs, mais il ne semble qu'il va y avoir des 2 dans l'histoire... et la mise sous forme canonique n'est pas au programme de seconde me semble-t-il. (?)
donc, ça risque d'être coton...

ps : tu peux intervenir et poursuivre si tu veux, je ne pourrai pas rester bien longtemps.

Posté par
loganinho13
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 19:08

si je j'ai aucune donnée comment puis-je mettre y en fonction de x, je suis dans l'incompréhension vraiment

Posté par
carita
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 19:46

le "y" correspond à l'hypoténuse de ton triangle... tu ne sais pas utiliser le théorème de Pythagore ?

Posté par
loganinho13
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 19:50

si mais je voulais écrire L en fonction de X pardon, car Y c'est ok il vaut 2x

Posté par
loganinho13
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 19:58

je pense avoir trouvé, merci à vous deux de m'avoir aidé

Posté par
carita
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 20:00

non y n'est pas 2x...
montre le détail de tes calculs si tu veux de l'aide.

pour L,
il te suffit de partir de l'égalité citée (issue du périmètre), à savoir 2x + 2L + y =18,
remplace y par sa bonne expression en fonction de x,
manipule l'égalité pour arriver à avoir L = ... une expression en x

... tu auras ainsi une seule variable, x, pour l'expression de l'aire.

Posté par
carita
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 20:01

ah super !

bonne continuation

Posté par
loganinho13
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 20:06

mais je ne comprends pas comment est-ce possible que y ne vaut pas 2x, car y^2= x^2+x^2 donc 2x^2 et il me semble que racine carrée de 2x^2 vaut 2x non ?

Posté par
carita
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 20:10

eh non

(ab) = a * b

donc (2x²) = 2   *   x ---- avec x>0 dans notre cas

Posté par
carita
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 20:11

je dois m'absenter, je laisse la main.

Posté par
loganinho13
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 20:11

aucun problème merci beaucoup de votre aide madame

Posté par
Pirho
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 20:42

quelle expression trouves-tu pour l'aire de la barge quand tu as remplacé L et y par leur valeur?

Posté par
loganinho13
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 20:49

je n'y arrive pas encore je suis bloqué à L = 9 - x - V2x / 2

Posté par
Pirho
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 21:00

loganinho13 @ 15-08-2019 à 20:49

je n'y arrive pas encore je suis bloqué à L = 9 - x - V2x / 2
attention aux parenthèses obligatoires

L=9-x-\dfrac{\sqrt{2}~x}{2}

remplace L et y  dans la formule de l'aire A

A=...

A dépendra uniquement de x

Posté par
loganinho13
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 21:08

très bien, j'arrive donc à : A= x^2/2 + 9V2x - V2x^2 - 2x^2/2

Posté par
carita
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 21:17

oui, simplifie cette expression pour la ramener à une forme ax²+bx

Posté par
loganinho13
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 21:19

ce qui me donne je crois -x^2 - 2V2 x^2) /2 + 9V2 x ?

Posté par
Pirho
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 21:21

tu obtiens A=f(x), regroupe les x^2 et cherche le maximum de A par la méthode que tu as étudiée

Posté par
carita
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 21:23

factorise tous les termes en x²

- (1/2  + 2) x² + 9(2) x      par exemple

Posté par
loganinho13
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 21:35

j'obtiens [x][/2]

Posté par
loganinho13
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 21:35

j'obtiens x^2 ((-1-2√ 2)/2) + 9√2 x

Posté par
Pirho
re : Problème avec deux inconnues 15-08-19 à 21:51

il est préférable de laisser le signe moins devant la parenthèse comme l'a écrit carita et tu n'es pas obligé de réduire au même dénominateur dans la parenthèse

il te reste à trouver la valeur de x qui donne A max



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