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problème avec les complexes si vous pouviez m aider.....
on pose P(Z)= Z^5-5Z^4+12Z^3-26Z^2+32Z-24
on se propose de résoudre dans C, P(Z)=0 (E)
1°) montrer que si Zo est solution de (E) alors le conjugué de Zo l'est aussi.
2°) montrer que (E) admet deux solutions imaginaires pures
3°) En déduire que P(Z)=(Z^2+a)*Q(Z) où a est un réel et Q un polynôme de degré 3
4°) Etudier la fonction Q(Z) et prouver que (E) admet une solution réelle.
5°) Résoudre (E)
Si vous pouviez m'aider au moins pour les premières questions ce serait vraiment très sympa parce que je bloque. Merci bcp.
Bonjour lulune,
Quelques idées :
1) Il suffit de calculer Z^5-5Z^4+12Z^3-26Z^2+32Z-24 en remplaçant Z par le conjugué de Z0.
On utilise alors les formules du conjugué :
la somme des conjugués est le conjugué de la somme
le produit des conjugués est le conjugué du produit
...
et on aboutit à 0.
2) Il faut chercher les solutions sous la forme iy.
Si tu en trouves une, tu sais que -iy est aussi solution d'après 1.
3) Tu cherches Q sous la forme Z3+bZ²+cZ+d en développant le produit et en identifiant.
4) tu étudies les variations de la fonction et tu en déduis que Q s'annule en une valeur réelle.
A toi de jouer
Pour le 2), tu obtiens :
(-5y4+26y²-24)+i(y5-12y3+32y)=0
ce qui permet d'écrire que :
-5y4+26y²-24=0
et
y5-12y3+32y=0
A toi de poursuivre
Pour information, soit P(z) un polynôme de degré n à coefficients réels. Si l'équation p(z)=0 admet pour solution z0, alors z0bar est aussi solution de p(z)=0.
C'est un théorème assez facile à montrer en considérant z0=x+yi et donc z0bar=x-yi.
On égale la partie réelle de p(z0) à 0 (car sol.), ainsi que la partie imaginaire. On effectue les mêmes calculs pour p(z0bar) et on constate qu'il n'y a qu'un changement de signe pour la partie imaginaire.
Ce théorème est à la base du théorème fondamental de l'algèbre que D'Alembert pensait avoir démontré dans son entièreté : toute équation de degré n admet n solutions complexes (avec peut être certaines égales).
Il fallut toutefois le génie de Gauss pour le montrer correctement (et ce par 7 démonstrations différentes les unes des autres, ce qui permit d'ouvrir des voies toutes nouvelles en mathématique).
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