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Problème avec les exponentielles
Bonjour, j'ai un problème auquel je trouve quelques pistes mais qui ne me permettent pas de tirer de conclusion. Peut être une idée de raisonnement serait-elle la bien venue?
Soit k un réel strictement positif. On considère les fonctions fk définies sur 
par : fk(x)=x+ke-x.
On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un plan muni d'un repère orthonormé.
Pour tout réel k strictement positif, la fonction fk admet un minimum sur . La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l'abscisse du point noté Ak de la courbe Ck. Il semblerait que, pour tout réel k strictement positif, les points Ak soient alignés. Justifier ou infirmer cette conjecture.
Merci !
Bonjour,
Tu pourrais commencer par calculer les abscisses de ces points.
Puis leurs ordonnées.
Ensuite, imaginer 3 valeurs de k quelconques et montrer que les 3 points Ak correspondants sont alignés (vecteurs par exemple).
Merci pour vos réponses. J'étais partie sur le fait que si fk admet un minimum sur alors sa dérivée s'annule en changeant de signe en Ak :
fk'(x)=1+k
-e-x
J'ai donc essayé de trouver les solutions de fk'(x)=0 mais je bloque...
Si les points Ak sont alignés, alors ils appartiennent à une droite (d) d'équation y=ax+b. On doit donc vérifier pour différentes valeurs de k que Ak appartient à (d) et à Ck.
J'ai trouvé ce raisonnement mais je n'arrive pas a continuer
Oui rapidement mais en chimie et pas encore en maths.
Et sinon pour fk'(x)=0, je me retrouve avec e-x=1/k et c'est ici le k qui m'embête pour résoudre l'équation
D'accord, alors on fait sans (c'est encore plus simple) :
Les coordonnées du point Ak vérifient e-x = 1/k mais aussi l'équation de la courbe y = fk(x) .
Ça suffit pour y arriver.
Oui rapidement mais en chimie et pas encore en maths.
Et sinon pour fk'(x)=0, je me retrouve avec e-x=1/k et c'est ici le k qui m'embête pour résoudre l'équation
Akest sur la courbe donc determine son ordonnée à partir de l'equation de la courbe sachant que e-x=...
Pas de souci merci sanantonio312 !
Est-ce que je devrais passer par un système de deux équations à deux inconnues en prenant e-x=1/k et y=x+ke-x ? je l'ai fait pour k=1 et on trouve x=0 et y=1. Par contre je n'arrive pas à le faire pour d'autres valeurs de k
garde k ,et remplace dans l'equation sachant que tu connais e-xen fonction de k ,comme tu l'as ecrit .
salut
pour t'aider à demarrer , tu a un reseau de courbe fk(x) avec k >0 donc k prend les valeurs 1,2,3,4.....ect
f1(x)=x+e-x et f'1(x)= 1 - e-x et on resoud
f'1(x)=0 soit alors trouver un premier point x1 tel que f'1(x1)=0
soit 1 - e-x1 =0 soit e-x1=1 tu passe en ln au niveau des deux membres et ca te donne x1 = ..... ? une fois x1 obtenu tu forme le premier point A1(x1, f(x1)) et tu fais fait pareil pour f2(x) , f3(x), ....etc
en prenant e-x=1/k et y=x+ke-x
Si tu veux voir ça comme un système, ne cherche pas x en fonction de k , mais k en fonction de x dans la 1ère équation, puis remplace dans la seconde.
Bonjour flight,
Oui ce serait la méthode si elle avait vu les logarithmes : Calculer 2 points simples , par exemple A1 et A2 . Puis vérifier que tous les Ak sont sur la droite (A1A2) .
en prenant e-x=1/k et y=x+ke-x
Si tu veux voir ça comme un système, ne cherche pas x en fonction de k , mais k en fonction de x dans la 1ère équation, puis remplace dans la seconde.
Bonjour sylvieg, pas besoin de chercher k en fonction de x ici
Bonjour flight, merci pour ces conseils. Je vais déjà essayer de terminer ce que j'avais commencé.
Alor si je remplace e-x dans l'équation de fk'(x) :
y=1+k-1/k 
y=0
Or Ak
Ck d'équation y=x+ke-x
Donc si y=0 alors x+k1/k=0 x=-1
Je trouve donc un deuxième point de coordonnées (-1;0). Est-ce que deux points suffisent pour démontrer la conjecture ?
Tu as mal remplacé :
e-x = 1/k dans y = x + ke-x ne donne pas y = 1 + k(-1/k) .
D'où sort le 1 derrière le = ?
Pour la méthode de flight, ce sera quand tu auras vu les log.
Bonjour flight, merci pour ces conseils. Je vais déjà essayer de terminer ce que j'avais commencé.
Alor si je remplace e-x dans l'équation de fk'(x) :
y=1+k
-1/k y=0
Or Ak
Ck d'équation y=x+ke-x
Donc si y=0 alors x+k
1/k=0 x=-1
Je trouve donc un deuxième point de coordonnées (-1;0). Est-ce que deux points suffisent pour démontrer la conjecture ?
C'est dans l'equation de la courbe que tu dois remplacer , pas dans la derivée
Ah oui j'avais remplacé dans la formule de la dérivée.
Donc si je remplace dans y=x+ke-x je trouve y=x+1
En reprenant le système je trouve k=ex et x=y-1 donc k=ey-1
Cependant je n'ai pas l'impression d'avoir vraiment avancé en écrivant ça ?
En résumé:
Tu as dérivé,annulé la dérivée pour e-x=1/k et en remplaçant dans l'equation de la courbe , tu as trouvé y=x+1.
Conclusion?
Ça y est j'ai compris merci beaucoup ! En fait je cherchais plus compliqué alors que la réponse était là. Merci à tous pour votre aide 
En fait je cherchais plus compliqué alors que la réponse était là
Mais il est vrai que la multiplicité des réponses a pu t'embrouiller
Petit résumé qui généralise un peu :
A partir des 2 égalités fk' (x) = 0 et y = fk(x) on veut trouver une relation entre x et y où k ne figure pas.
Une des méthodes est d'isoler k dans fk' (x) = 0 , c'est à dire exprimer k en fonction de x , puis remplacer dans y = fk(x) .
Ici, on pouvait directement remplacer e-x par 1/k dans y=x+ke-x .
Si on ne le voit pas, on isole k dans 1 - ke-x = 0 ; ce qui donne k = 1/e-x = ex . Et on remplace dans y = x+ke-x .
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