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Probleme avec les ln
Bonne année 2005.
Je suis ravie d'être avec vous.
J'énonce le sujet et je met entre { } les réponses que j'ai trouvé.
On considère la fonction f défini sur 0 exclu + l'infini par f(x)=2lnx-(lnx)²
On désigne par c sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité 1 cm)
1) Etudier les limites de f en + l'infini et en 0 à droite. {lim f(x) quand x tend vers + l'infini est - l'infini. La lim f(x) quand x tend vers 0 (x>0) est - l'infini}
2) Calculer la dérivée f'(x) et donner le tableau de variation de f. {f'(x)=(2/x)(1-ln(x)) f'(x)>0 si 0<x<e. f'(x)=0 quand x=e. f'(x)<0 quand x>e. f est donc strictement croissante sur ]0;e[ et est décroissante sur ]e;+ l'infini[ le maximum de f est f(e)=1}
3) Préciser les abscisses des points d'intersection de C avec l'axe (x'x). {abscisse des points x=1 et x=e²}
4) Donner une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse e². {y=-2+(2e²)/x}
5) Calculer à 0.001 près f(5) f(10) ainsi que les ordonnées des points de T d'abscisse 5 et 10. {f(5)=0,629 et f(10)=-0,697. Les ordonnées sont pour 5: 0,956 et pour 10 -0,522) Jusque là je me débrouille, je ne pense pas avoir fait d'erreur...
6) Construire la courbe C et la droite T. (pas de probleme)
7) On désigne par Dk la droite d'équation y=k avec k<1. Montrer que pour tout réel k<1, la droite Dk coupe la courbe C en deux points d'abscisses respectives m et m'. Cest ici que je n'y arrive pas. Je ne sais pas comment m'y prendre.
8) Montrer que mm'=e² quel que soit k. Pour réussir cette question, il faut réussir la premiere.
S'il vous plait, je suis desespere,
:? aidez moi.
Merci d'avance.
En fait j'ai besoin d'aide uniquement pour le7 et le 8
Bonsoir,
Tu as démontrée que le max de f est f(e)=1 et en calculant les limites en 0 et +
étaient =- donc f(x)
1 et grace au tableau de variation on peut dire :
que pour x
]0;e] f(x)]-;1]
que pour x[e;-[ f(x)[1;-[
donc pour y=k avec k<1 Dk coupe C en 2 points distincts
f(x)=k
ln(x)(2-ln(x))=k
x=ek ou x=e(2-k)
Re,
J'ai fait une grosse erreur dans f(x)=k
2ln(x)-ln(x)²-k=0
soit X=ln(x) alors 2ln(x)-ln(x)²-k=0
-X²+2X-k=0
C'était juste dans le calcul, je me suis un peu trop emporté
Ce serais possible de me réexpliquer parce que je ne vois pas l'erreur dans f(x)=k ----> ln(x)(2-ln(x))=k ---> x=ek ou x=e(2-k)
%erci d'avance
pour comprendre il faut reprendre f(x) :
f(x)=ln(x)(2-ln(x))
ici f(x)=k
ln(x)(2-ln(x))=k
ln(x)(2-ln(x))-k=0
si tu prends x=ek comme j'ai écrit
alors f(ek)=ln(ek)(2-ln(ek)=k(2-k)=2k-k²
k
même chose avec x=e(2-k)
Il faut bein résoudre l'équation suivante :
2ln(x)-ln(x)²-k=0
soit X=ln(x) alors 2ln(x)-ln(x)²-k=0-X²+2X-k=0
et là ou résoud un équation du 2nd degré
oui, mais avec l'inconu k, on ne sais pas si le discriminant est positif ou pas... De plus dans mon noncé, je n'ai pas compris ce quétait m et m'...
Vous pourriez m'expliqué toute la question 7 et la 8 s'il vous plait.
merci.
Je m'absente quelques minutes, n'hésitez pas à me répondre
Re,
Reprenons l'équation f(x)=k
2ln(x)-ln(x)²-k=0
soit X=ln(x) alors 2ln(x)-ln(x)²-k=0-X²+2X-k=0
Résolvons l'équation : -X²+2X-k=0
=2(²)-4(-1)(-k)=4-4k=4(1-k)
or k<1 voir l'énoncé " Montrer que pour tout réel k<1, la droite Dk coupe la courbe C en deux points d'abscisses respectives m et m' "
donc =4(1-k) est du signe de (1-k).
comme k<1 alors 1-k>0 donc >0
Il existe 2 solutions. Ces 2 solutions s'appelleront m et m'.
Reprenons,
7)
f(x)-k=0
2ln(x)-ln(x)²-k=0
soit X=ln(x)
-X²+2X-k=0
=4(1-k)>0 car k<1 1-k>0
X1=[-2+2
(1-k)]/(-2)
X2=[-2-2(1-k)]/(-2)
calcul de m 1ère solution :
X1=[-2+2(1-k)]/(-2)=1-(1-k)1/2
or X=ln(x) donc x=eX
x1=eX1=e(1-(1-k)[sup]1/2)[/sup]=m
Calcul de m' 2ème solution :
X2=[-2-2(1-k)]/(-2)=1+(1-k)1/2
or X=ln(x) donc x=eX
x2=eX2=e(1+(1-k)[sup]1/2)[/sup]=m'
8) on demande de calculer mm' :
mm'=e(1-(1-k)[sup]1/2)[/sup]*e(1+(1-k)[sup]1/2)[/sup]
Or ea*eb=e(a+b)
donc e(1-(1-k)[sup]1/2)[/sup]*e(1+(1-k)[sup]1/2)[/sup]=e(1-(1-k)[sup]1/2+(1+(1-k)1/2)[/sup]=e²
donc quel que soit k mm'=e²
*=signe multiplicateur
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