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problème avec les somme direct

Posté par judith3 (invité) 23-01-05 à 14:08

bonjour
je ne comprend pas trop les somme direct donc il y a un exercice que je ne sais pas comment résoudre

soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme tel que f°f=IdE , et on note que :
E1={x apartien a E /f(x)=x}
E-1={x appartient a E / f(x)=-x}
montrer que E1 et E-1 sont suplémentaire

merci beaucoup pour votre aide
bonne journée
émilie

Posté par titimarion (invité)re : problème avec les somme direct 23-01-05 à 17:36

Salut, pour vérifier que 2 espaces E1 et E2 sont en somme direct dans E, il faut vérifier que tout élément de E peut être vu comme somme d'un élément de E1 et d'un élément de E2.
De plus il faut que le seul élément commun à E1 et E2 soit l'élément nul.
Cette dernière partie se vérifie facilement sur ton exemple.
Pour ce qui est du fait que E=E1+E2.
Tu as f qui est un endomorphisme autrement dit c'est une application linéaire.
La seule chose que tu sais c'est que fof(x)=x pour tout x dans E.
Ainsi f(x+f(x))=f(x)+fof(x)=f(x)+x.
De la même manière f(x-f(x))=f(x)-x=-(x-f(x))
Donc (x+f(x)) appartient à E1 et (x-f(x)) appartient à E-1.Il en est de même si on divise' ces éléments par 2.
Or x=(x+f(x))/2+(x-f(x))/2, donc ainsi on a bien écrit x comme somme d'un élément de E1 et d'un élément de E-1, d'ou le fait que E1 etE-1 sont supplémentaires.

Posté par judith3 (invité)merci 23-01-05 à 19:49

merci beaucoup titimarion



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