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Problème avec un polynôme

Posté par
granolaaa 16-08-18 à 15:37

Bonjour,
Je bloque sur un petit problème depuis une bonne heure, voici l'énoncé:
Quelle est la somme de tous les nombres réels x tels que
243+162x+108x^2+72x^3+48x^4+32x^5=0  ?
J'ai donc décomposé en facteur premier chaque coefficient:
243 = 3^5
162 = 3^4 * 2
108 = 3^3 * 2^2
72 = 3^2 * 2^3
48 = 3 * 2^4
32 = 2^5
on reconnait la forme 3^6 - 2^6 = 3^5+ 3^4 * 2 + 3^3 * 2^2 + 3^2 * 2^3 + 3 * 2^4 + 2^5
et je suis donc tenté de faire une factorisation sauf que je bloque... j'ai entendu parler aussi d'une relation coefficient racine mais je ne sais pas ce que c'est !
Toute aide est la bienvenue !

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème avec un polynôme 16-08-18 à 15:58

Bonjour

Ton énoncé est-il complet? Ton équation a des racines complexes…

En général, un polynôme P(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0, admet dans \C une décomposition de la forme

P(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_2)(x-x_1)=a_nx^n+\cdots +a_1x(x_1+...+x_n)+a_0x_1x_2\dots x_n

Si les x_i sont les racines, on a P(x_i)=0 et on en déduit que x_1+...x_n=-a_1/a_0.

C'est ça la relation entre coefficients et racines, mais je ne crois pas que tu sois censé(e) la connaitre à ce niveau pour le cinquième degré!

Posté par
granolaaare : Problème avec un polynôme 16-08-18 à 16:10

merci d'avoir répondu... mon énoncé est bien complet, en essayant la relation k (1,n) xk = -a1 / a0 = -162/143 , le site sur lequel je dois indiquer ma réponse trouve une erreur ... en indice pourtant ils m'ont conseillés d'étudier la décomposition en facteur premier des coefficients...

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème avec un polynôme 16-08-18 à 16:14

C'est moi qui ai fait une erreur! C'est -a_1/a_n, désolée!

Posté par
larrechre : Problème avec un polynôme 16-08-18 à 16:17

Bonjour,

Pardon d'intervenir, mais la somme des racines est  S=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}, soit ici, -\dfrac{48}{32}=-\dfrac{3}{2}

Posté par
granolaaare : Problème avec un polynôme 16-08-18 à 16:24

C'est vraiment bizarre apparemment -162/32 est une mauvaise réponse , je suis perdu là !   

Posté par
granolaaare : Problème avec un polynôme 16-08-18 à 16:27

larrech @ 16-08-2018 à 16:17

Bonjour,

Pardon d'intervenir, mais la somme des racines est  S=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}, soit ici, -\dfrac{48}{32}=-\dfrac{3}{2}


je n'avais pas vu cette réponse, merci beaucoup , je viens de trouver une autre solution, mon équation peut s'écrire 3^6 - (2x)^6  / 3-2x   = 0 (avec x différent de 3/2) , la seule solution qui convient est donc -1.5 !!!!!

Posté par
larrechre : Problème avec un polynôme 16-08-18 à 17:16

Oui, mais tu ne peux pas conclure comme ça.

C'est bien d'avoir remarqué, qu'ayant posé X=2x/3, l'équation se ramenait à la suivante

X5+X4+X3+X2+X+1=0

équation dont les racines sont les racines 6èmes de l'unité autres que 1.

En se reportant au cours, ou en résolvant, l'une des racines est -1 et les 4 autres sont complexes, 2 à 2  conjuguées, de somme nulle.

D'où le résultat.


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