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problème avec une tangente
Bonsoir, j'ai un exo à faire ce week end :
"La droite d'équation y=7x+9 peut-elle être une tangente à la courbe d'équation y=x^3+4x+11 ? Si oui, en quel(s) point(s) ?"
Je sais que pour déterminer l'équation d'une tangente on doit utiliser la formule y=f'(a)(x-a)+f(a) et que la dérivée de la courbe correspond au coefficient directeur de la tangente mais je ne sais pas comment m'y prendre, par où commencer et comment rédiger.
Merci par avance à ceux qui voudront bien m'aider.
Ben il y a plusieurs méthodes !
Tu peux dire que la pente de la droite est 7, et que par conséquent, puisque la pente de la tangente en a est f'(a) tu peux chercher les points de la courbe tels que f '(x)=7 ! Ensuite, tu regardes si l'une des tangentes trouvées est confondue avec la droite donnée ou pas.
Une autre méthode serait de chercher les points d'intersection de la droite avec la courbe, en résolvant : 7x+9=x^3+4x+11 ! C'est du troisième degré, mais il y a une racine évidente !
Si tu trouves deux racines confondues, cela signifie que cette droite est tangente en le point d'abscisse la racine double.
Pour la première méthode, il faut résoudre 3x²+4=7, ce qui donne x=1 ou x=-1
Dans chacun de ces deux cas, la dérivée vaut bien 7 ! La pente de la tangente en chacun de ces deux points est bien égale à 7, mais rien ne prouve que les deux tangentes soient confondues avec ta droite, ni même qu'une seule d'entre elles le soit. Il faut dans les deux cas calculer l'équation de la tangente !
Pour la deuxième méthode :
x^3+4x+11=7x+9
x^3-3x+2=0
1 est racine évidente donc :
x^3-3x+2=(x-1)(x²+x-2)
Et 1 est racine évidente de x²+x-2 donc :
x²+x-2=(x-1)(x+2)
Finalement x^3-3x+2=(x-1)(x²+x-2)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)²(x+2)
Cela signifie que la droite d'équation y=7x+9 coupe la courbe en trois points d'abscisses 1,1 et -2. Comme 1 est racine double, cela signifie que la droite est bien tangente au point de la courbe d'abscisse 1, alors qu'elle coupe la courbe au point d'abscisse -2 sans y être tangente !
Avec a=1 je retrouve bien ma droite d'équation y=7x+9 mais après pour l'autre c'est pas la même.
Par contre je ne sais pas du tout comment rédiger!
Si la droite est tangente en un point a, alors la dérivée en a est égale à 7. Par conséquent la droite ne peut être tangente qu'en les points dont l'abscisse vérifient f '(x)=7.
Deux valeurs de x conviennent, x=1 et x=-1.
Calculons la tangente au point d'abscisse 1.
...
Effectivement, la tangente en 1 a pour équation y=7x+9 ; il s'agit donc de la droite donnée.
Calculons la tangente au point d'abscisse -1.
...
Par contre, la tangente en -1 a pour équation y=7x+... ; il ne s'agit pas de la droite donnée.
La droite donnée est donc la tangente en un seul point à la courbe.
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