Niveau autre

Probléme bien connue mais trés intérréssant ....

Posté par
Nightmare 05-07-04 à 15:12

Voici un probléme bien connu je pense que j'ai décidé d'exploiter
plus profondémment :

choisissez un nombre composé de 3 chiffres consécutif ( par ex 123 )

soustrayez ce nombre a ce méme nombre a l'envers ( si vs avez choisi
123 , ce nombre sera 321 )

Normalement le probléme continu mais nous allons nous arrété la .

La personne posant le probléme tout fier annonce sans probléme le résultat
: 198

Bien sur il y a un truc . C'est ce que je vous propose de démontrer
:

-tout nombre de 3 chiffre soustré au méme chiffre mais a l'envers
donne 198

( je rapelle qu'un nombre composé de 3 chiffre ( abc) s'écrit
sous la forme : 100a + 10b + c )

Maintenant posons le méme probléme mais plus mathématique :

Pierre demande a Paul de choisir un nombre de k chiffres consécutifs puis
de soustraire ce chiffe au méme chiffre a l'envers .
démontrez que si Pierre connais k ( i.e le nombre de chiffre dans ce nombre
) , il peut dire a Paul le nombre qu'il a trouvé au final ...

Voila , bon courage a tous

Posté par re : Probléme bien connue mais trés intérréssant .... 06-07-04 à 03:36

Salut Nightmare,

En effet, assez intéressant ce problème. Alors voici ma démonstration
pour les nombres composés de trois chiffres consécutifs.
Comme nous sommes, dans le système décimal, nous pouvons écrire ce nombre
de la forme (pour k    N et k
[0;7]) :

k*100 + (k+1)*10 + (k+2)     (P)

Par exemple, pour 123, k=1, k+1=2, k+2=3, ce qui nous donne bien
123

De même, on peut écrire le nombre auquel on soustait ce premier de la
forme :

(k+2)*100 + (k+1)*10 + k     (S)

La soustraction (S)-(P) est donc égale à :

(S)-(P) = (k+2)*100 + (k+1)*10 + k - [k*100 + (k+1)*10 + (k+2)]
(S)-(P) =  (k+2)*100 + k - k*100  - (k+2)
(S)-(P) =  (k+2-k)*100 + k - (k+2)             (on factorise)
(S)-(P) =  2*100 - 2
(S)-(P) =  200-2
(S)-(P) =  198

On voit donc bien ici que la soustraction (S)-(P) est bien égale, indépendament
de la valeur de k, à 198.

Voilà, pour ce qui est de la démo pour les nombres à trois chiffres, et
je travaille sur la démo généralle avec Paul et Pierre .

À + pour la suite

Posté par re : Probléme bien connue mais trés intérréssant .... 06-07-04 à 04:46

Re-Salut,
alors voici la démo pour le cas général.

Alors, nos deux nombres seront cette fois-ci de la forme :

(P) n*10^k-1 + (n+1)*10^k-2 +...+ (n+k-2)*10 + (n+k-1)

(S) (n+k-1)*10^k-1 + (n+k-2)*10^k-2 +...+ (n+1)*10
+ n

On a donc :

(S)-(P)= (n+k-1)*10^k-1 + (n+k-2)*10^k-2 +...+ (n+1)*10
+ n -[n*10^k-1 + (n+1)*10^k-2 +...+ (n+k-2)*10
+ (n+k-1) ]

(S)-(P)= (n+k-1-n)*10^k-1 + (n+k-2-(n+1))*10^k-2 +...+
(n+1-(n+k-2))*10 + n-(n+k-1)

(On factorise)

(S)-(P)= (k-1)*10^k-1 + (k-3)*10^k-2 +... +(3-k)*10 +
(1-k)

Une fois que l'on sait cela, il devient très simple de connaitre
le résultat de la soustraction (S)-(P). Les voici dans leur totalité:

*si k=1, alors (S)-(P)=1-1=0

*si k=2, alors
(S)-(P)=(2-1)*10^2-1+(1-2)
(S)-(P)=10-1=9

*si k=3, alors
(S)-(P)=(3-1)*10^3-1+(1-3)
(S)-(P)=200-2=198

*si k=4, alors
(S)-(P)=(4-1)*10^4-1+ (4-3)*10^4-2 + +(3-4)*10 + (1-4)
(S)-(P)=3000+100-10-3=3087

*si k=5, alors
(S)-(P)=40000+2000+0-20-4
(S)-(P)=41976

*si k=6, alors
(S)-(P)=500000+30000+1000-100-30-5
(S)-(P)=530865

*si k=7, alors
(S)-(P)=6000000+400000+20000-200-40-6
(S)-(P)=6419754

*si k=8, alors
(S)-(P)=70000000+5000000+300000+10000-1000-300-50-7
(S)-(P)=75310000-1357
(S)-(P)=75308643-1357

*si k=9, alors
(S)-(P)=800000000+60000000+4000000+200000-2000-400-60-8
(S)-(P)=864200000 - 2468
(S)-(P)=864197532

*si k=10, alors
(S)-(P)=9000000000+700000000+50000000+3000000-100000 - 10000 - 3000 -500 -70 -9
(S)-(P)=9753100000 - 13579
(S)-(P)=9753086421

SUPPLÉMENT

pour k=1, on a 10 soustractions possibles,
pour k=2, on a 9 soustractions possibles,
pour k=3, on a 8 soustractions possibles,
pour k=4, on a 7 soustractions possibles,
pour k=5, on a 6 soustractions possibles,
pour k=6, on a 5 soustractions possibles,
pour k=7, on a 4 soustractions possibles,
pour k=8, on a 3 soustractions possibles,
pour k=9, on a 2 soustractions possibles,
pour k=10, on a 1 soustractions possibles.

Ce qui nous donne un total de :

(10-1+1)*(1+10)*/2=10*11/2=55 soustractions possibles en tout ce qui est relativement peu, bien
que l'énoncé semble laisser un grand nombre de choix .

Voili, Voilou.

A +

Posté par re : Probléme bien connue mais trés intérréssant .... 06-07-04 à 13:42

Effectivement c une trés bonne réponse . Pour ma part je suis passé
par les sommes ( ce qui en soit n'est pas trés loin de ce que
vous avez fait ) :

on a (P) = 10^k-1a + 10^k-2(a+1)+...+10(a+k-2) +
(a+k-1)

k
= 10^k-n(a+n-1)
n=1

et (S) = 10^k-1(a+k-1)+10^k-2(a+k-2)+...+10(a+1)+a

k
=> (S) = 10^k-n(a+k-n)
n=1

donc (S) - (P) = 10^k-n(a+k-n)-
10^k-n(a+n-1)

(S)-(P) = 10^k-n(a+k-n)-10^k-n(a+n-1)

et en factorisant par 10^k-n :
(S)-(P)= 10^k-n(a+k-n-a-n+1)

donc pour conclure :

k
(S)-(P) = 10^k-n(1+k-2n)
n=1

Voila

Posté par re : Probléme bien connue mais trés intérréssant .... 06-07-04 à 20:07

Salut Nightmare,

En effet, ce n'est pas très différent de ma manière de procéder,
mais ça a le mérite d'être beaucoup clair, beaucoup mieux présenté
(et lisible), et beaucoup plus simple à appliquer par la suite (parce
que moi, avec tous mes termes et ces points de suspension, je dois
avouer que je m'y perdais facilement à la fin ).

Ah oui, au passage pour mon "*si k=8" de mon dernier POST, il y a
une petite erreur :
_______________

*si k=8, alors
(S)-(P)=70000000+5000000+300000+10000-1000-300-50-7
(S)-(P)=75310000-1357
(S)-(P)=75308643

dans mes copier-coller(s), j'avais oublier de retirer le -1357
à la dernière ligne
_______________

Donc voilà. Ah, oui aussi une dernière chose, je préfère de loin être
tutoyer .

Merci Nightmare d'avoir poster ce problème, il était en effet très
intéressant et j'ai adoré essayer de le résoudre
     .

À +