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Problème (Binôme de Newton,...)

Posté par Didou46 (invité) 19-10-07 à 21:24

Bonjour,

Je dois démontrer que pour p appartient à N*, il existe un polynôme T2p tel que pour tout réel x, T2p(cos(x))=cos(2px).

Je suis partie en écrivant les inégalités suivantes :

cos(2px)=Re[cos(2px)+isin(2px))
cos(2px)+isin(2px)=[cos(px)+isin(px)]2

Et là j'ai voulu appliquer la formule de Moivre et ensuite le binôme de Newton, avec puissance 2 ça marchait mais après je me suis retrouvée avec cos(2px)=-1 donc ça allait pas trop...

Enfait je pense qu'il fallait que j'écrive au départ :

cos(2px)=Re[cos(2px)+isin(2px))
cos(2px)+isin(2px)=[cos(x)+isin(x)]2p

Mais là le problème c'est que je ne peux plus appliquer le binôme de Newton, à cause du p, ou alors je ne sais pas comment...

Merci d'avance pour vos idées!

Posté par
perroquetre : Problème (Binôme de Newton,...) 19-10-07 à 22:03

re-Bonsoir.

\cos(2px)+i\sin(2px)=(\cos x+i\sin x)^{2p}= \displaystyle \sum_{k=0}^{2p} {2p\choose k} (i\sin x)^k (\cos x)^{2p-k}

Donc:

\cos (2px)=\displaystyle \sum_{k=0}^p (-1)^k {2p\choose 2k}(\sin x)^{2k}\cos^{2p-2k}x

On peut donc choisir:

T_{2p}(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^p (-1)^k {2p\choose 2k}(1-X^2)^k X^{2p-2k}


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