Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Posté par
hips
calculer 0²+1²+2²+...+N² 27-05-08 à 20:13

J'ai un problème a faire, vraiment dur, ça fait une semaine que je me creuse la tête :
Trouver la solution de  0²+1²+2²+...+N²
Aidez moi !!

*** message déplacé ***

Posté par
hips
dsl 27-05-08 à 20:13

dsl me suis gourré de place^^

*** message déplacé ***

Niveau première
Partager :

probleme ; calculer 0²+1²+2²+...+N²

Posté par
hips
27-05-08 à 20:15

bonjour, j'ai besoin de vous, ça fait une semaine que j'essaie de trouver la solution de 0²+1²+2²+...+N²
Je n'arrive pas, aidez moi s'il vous plait..
merci

Posté par
gui_tou
re : probleme ; calculer 0²+1²+2²+...+N² 27-05-08 à 20:22

Salut

Tu n'as pas d'indication ?

Posté par
hips
re : probleme ; calculer 0²+1²+2²+...+N² 27-05-08 à 20:26

si : utiliser (a+b)^3 et prendre b=1
rien d'autre..

Posté par
gui_tou
re : probleme ; calculer 0²+1²+2²+...+N² 27-05-08 à 20:28

C'est déjà pas mal, ça suffit

3$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

Pour b=1, on a

3$(a+1)^3=a^3+3a^2+3a+1

Exprime a² en fonction du reste !

Posté par
hips
re : probleme ; calculer 0²+1²+2²+...+N² 27-05-08 à 20:29

ui sa j'ai deja trouvé, mais je vois pas le rapport..

Posté par
hips
re : probleme ; calculer 0²+1²+2²+...+N² 27-05-08 à 20:56

svp

Posté par
gui_tou
re : probleme ; calculer 0²+1²+2²+...+N² 27-05-08 à 20:57

3$\rm(1+1)^3\,=\,1\,+\,3\times 1^1\,+\,3\times1^2\,+\,1^3
 \\ \\(1+2)^3\,=\,1\,+\,3\times 2^1\,+\,3\times2^2\,+\,2^3
 \\ \\(1+1)^3\,=\,1\,+\,3\times 3^1\,+\,3\times3^2\,+\,3^3
 \\ \\...
 \\ \\(1+[n-1])^3\,=\,1\,+\,3\times [n-1]^1\,+\,3\times [n-1]^2\,+\,[n-1]^3
 \\ \\(1+n)^3\,=\,1\,+\,3\times n^1\,+\,3\times n^2\,+\,n^3

Je pense que jusque là tu es d'accord.

Je rappelle que ce qui nous intéresse c'est 3$\rm\fbox{S_2=1^2+2^2+3^2+...+[n-1]^2+n^2

Tu es aussi d'accord pour dire que 3$\rm(1+1)^3=2^3,\;(1+2)^3=3^3,\;...\;(1+[n-1])^3=n^3.

En additionnant tous les termes à gauche de l'égalité entre eux, et tous ceux à droite de leure côté, on a une simplification qui s'opère :

3$\rm\not{(1+1)^3}\,=\,1\,+\,3\times 1^1\,+\,3\times1^2\,+\,1^3
 \\ \\\not{(1+2)^3}\,=\,1\,+\,3\times 2^1\,+\,3\times2^2\,+\,\not{2^3}
 \\ \\\not{(1+1)^3}\,=\,1\,+\,3\times 3^1\,+\,3\times3^2\,+\,\not{3^3}
 \\ \\...
 \\ \\\not{(1+[n-1])^3}\,=\,1\,+\,3\times [n-1]^1\,+\,3\times [n-1]^2\,+\,\not{[n-1]^3}
 \\ \\(1+n)^3\,=\,1\,+\,3\times n^1\,+\,3\times n^2\,+\,\not{n^3}

Il nous reste donc :

3$\rm(1+n)^3\,=\,n\times1\,+\,3\times(1+2+3+...+n)\,+\,3S_2

Or tu sais sans doute que 3$\rm1+2+3+...+n=\Bigsum_{k=1}^n k=\fr{n(n+1)}{2

donc

3$\rm(1+n)^3=n+\fr{3n(n+1)}{2}+3S_2   d'où   3$\rm 3S_2=(1+n)^3-n-\fr{3n(n+1)}{2}=n^3+3n^2+3n+1-1-n-\fr32n^2-\fr32n=n^3+\fr32n^2+\fr12n

soit en factorisant    3$\rm 3S_2=\fr{n(2n^2+3n+1)}{3}=\fr{n(n+1)(2n+1)}{2}

Au final, 3$\rm\blue\fbox{\fbox{S_2=1^2+2^2+...+n^2={4$\fr{n(n+1)(2n+1)}{6



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !