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problème complqué pr moi, ;je ne sais pas quel niveau

Posté par
happyfille 17-07-05 à 12:38

si tu sais  x[/sup]+y[sup]+z[sup][/sup]=xy+yz+zx

demontrez que x=y=z ????

Posté par
happyfillere : problème complqué pr moi, ;je ne sais pas quel niveau 17-07-05 à 12:38

  si tu sais  x2+y

Posté par
happyfillere : problème complqué pr moi, ;je ne sais pas quel niveau 17-07-05 à 12:40

si tu sais  x2+y2+z2=xy+yz+zx
demontrez que x=y=z ????


une ereure d'envoie au début

Posté par titimarion (invité)re : problème complqué pr moi, ;je ne sais pas quel niveau 17-07-05 à 12:45

En fait il suffit de voir que
\frac{(x-y)^2}{2}=\frac{x^2+y^2}{2}-xy
Ainsi ta première équation te donne
\frac{(x-y)^2}{2}+\frac{(x-z)^2}{2}+\frac{(y-z)^2}{2}=0
Et il ne reste plus qu'a conclure

Posté par
happyfillere : problème complqué pr moi, ;je ne sais pas quel niveau 17-07-05 à 12:47

l'autre c Z , ce n'est pas 2...

Posté par
happyfillere : problème complqué pr moi, ;je ne sais pas quel niveau 17-07-05 à 12:48

ok, j'ai compris mercie

Posté par majid52 (invité)re : problème complqué pr moi, ;je ne sais pas quel niveau 18-07-05 à 00:31

Bonjour tout le monde;
on peut aussi voir que c'est le cas d'égalité dans l'inégalité de cauchy-swhartz,
||\vec{u}||.||\vec{v}||=\vec{u}.\vec{v} avec \vec{u}=(x,y,z) et  \vec{v}=(y,z,x)
ces 2 vecteurs sont donc colinéaires:
\exists\alpha\in \mathbb{R} telle que: y=\alpha x,z=\alpha y et x=\alpha z par produit on a {\alpha}^3=1 donc \alpha=1 donc x=y=z.

Posté par philoux (invité)re : problème complqué pr moi, ;je ne sais pas quel niveau 18-07-05 à 10:44

Bonjour à tous,

Une question :

Dire :

(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²=0 => x=y=z (titimarion 12:45)

implique que la résolution soit dans R

Qu'en serait-il dans C ?

Merci

Philoux

Posté par titimarion (invité)re : problème complqué pr moi, ;je ne sais pas quel niveau 18-07-05 à 11:00

En effet j'ai supposé que l'on se placait dans R.
Si on se place dans C il y a des contre exemple je ne sais pas si c'est le plus simple mais si tu prends x=1, y=-1 et z=i alors tu obtiens i=-1
ce qui est assez absurde

Posté par philoux (invité)re : problème complqué pr moi, ;je ne sais pas quel niveau 18-07-05 à 11:04

Merci titimarion

En fait, je me demandais s'il y avait des valeurs complexes x=a+ib, y=c+id et z=e+if différentes telles que :

x²+y²+z²=xy+yz+zx

?

Philoux



Posté par titimarion (invité)re : problème complqué pr moi, ;je ne sais pas quel niveau 18-07-05 à 11:06

Désolé j'ai pas regardé le bon énoncé
Je vais y réfléchir
la j'ai pas terop le temps j'y reviendrai après.

Posté par philoux (invité)re : problème complqué pr moi, ;je ne sais pas quel niveau 18-07-05 à 12:48

Re-

En posant :

X = x+iy
Y = c+id
Z = e+if

Le nombre de solution est ... trop élevé à mon goût

J'ai cherché à voir s'il y avait des valeurs de X, Y et Z vérifiant :

X²+Y²+Z²=XY+XZ+YZ sans entraîner, absolument, X=Y=Z

Pour simplifier, je me suis posé Z=0

X²+Y²=XY

En posant ensuite Y=1 (donc Y <> Z)

X²+1=X => X²-X+1=0 => X=(1+/-irac(3))/2=exp(+/-pi/3)

Ainsi, sur un exemple, on trouve déjà 2 triplets solutions non égales :
X= ei/3 ; Y=1 ; Z=0
X= e-i/3 ; Y=1 ; Z=0

Donc, la relation de happyfille n'est vraie que dans R.

S'il y a une "belle" résolution dans l'absolu (sans prendre des cas Z=0 et Y=1), je suis preneur...


Philoux



Posté par majid52 (invité)re : problème complqué pr moi, ;je ne sais pas quel niveau 18-07-05 à 18:52

Re-bonjour tout le monde,
comme l'a vu titimarion on a:
x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\Longleftrightarrow(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0
plaçons nous dans le corps des nombres complexes et posons:
X=y-z , Y=z-x et Z=x-y d'où le systéme dans \mathbb{C^3}:   \{{X^2+Y^2+Z^2=0\atop X+Y+Z=0}\
en écrivant Z=-X-Y on a que X^2+XY+Y^2=0 c'est à dire que (Y+X/2)^2+(X\sqrt{3}/2)^2=0 et donc que Y=Xj ou Y=Xj^2 où j=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}
en utilisant l'identité 1+j+j^2=0 on aboutit alors à la relation x+yj+zj^2=0 on peut donc conclure que:
pour tout (x,y,z) dans \mathbb{C^3}
x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx \Longleftrightarrow x+yj+zj^2=0
remarque: ceci est équivalent à dire que les images de x,y et z forment un triangle équilatéral dans le plan complexe et on voit alors que si x,y et z sont réels on doit avoir x=y=z
enfin espérons que c'est bien ça

Posté par philoux (invité)re : problème complqué pr moi, ;je ne sais pas quel niveau 19-07-05 à 12:07

Merci majid52

Très belle démonstration (que je sentais mais dont les bases ne me permettaient pas de développer) !

Plusieurs questions pour bien te comprendre :

1) comment de (Y+X/2)²+(Xrac(3)/2)²=0 déduis-tu Y=Xj ou Xj² ?

2) comment de x+jy+j²z=0 déduis-tu les conséquences géométriques ?

Ces questions te(vous) semblent certainement triviales, alors s'cuze !

Autre question de généralisation; je reviens, dans C, avec 2 variables x et y :

x²+y²=xy
y²-xy+x²=0

Je cherche y en fonction de x :
Delta=-3x²=(ixrac(3))²
y=(x+/-ixrac(3))/2=x.exp(+/-i.pi/3)=+/-jx

qd je remplaces
x²+(+/-jx)²=x²+j²x²=x²(1+j²)
si je me sers de 1+j+j²=0 =>1+j²=-j donc
x²(1+j²)=-jx²=x(-jx) j'en déduis donc que y=-jx

pourquoi ai-je trouvé 2 solutions (jx et -jx) ?
Où est mon erreur ?

Quelle conséquence géométrique ?

Quelle est l'utilisation de ce j que je vois sur l'île depuis peu ?

s'en sert-on ailleurs ?

Merci

Philoux

Posté par majid52 (invité)re : problème complqué pr moi, ;je ne sais pas quel niveau 19-07-05 à 18:16

Bonjour philoux,
1°)tu as (Y+\frac{X}{2})^2+ (\frac{X\sqrt{3}}{2})^2=0 donc   (Y+\frac{X}{2})^2=(\frac{iX\sqrt{3}}{2})^2 comme tu est dans un corps (ici\mathbb{C}) tu déduis que Y+\frac{X}{2}=\frac{iX\sqrt{3}}{2} ou Y+\frac{X}{2}=-\frac{iX\sqrt{3}}{2} c'est à dire que Y=X\frac{-1+i\sqrt{3}}{2} ou Y=X\frac{-1-i\sqrt{3}}{2} et avec j=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2} tu vois que Y=Xj ou Y=X\bar{j}=Xj^2
2°) tu as x+yj+zj^2=0 donc x=-yj-zj^2 en retranchant de cette dernière equation successivement y et z tu obtiens \{{x-y=-y(1+j)-zj^2=j^2(y-z)\atop\ x-z=-yj-z(1+j^2)=j(z-y)}\ et tu vois donc que |x-y|=|y-z|=|z-x| qui est bien la conséquence géométrique citée
3°)pour l'équation x^2-xy+y^2=0 si tu la vois comme équation du second degré en y tu as effectivement pour discriminant
-3x^2=(xi\sqrt{3})^2 et donc pour solutions
y=\frac{x\pm ix\sqrt{3}}{2}=x\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2} ce qui donne y=-xj  ou  y=-xj^2
ton erreur est là car e^{-\frac{i\pi}{3}}=-\bar{j}=-j^2  est non pas j
4°)pour le fameux j,je me contenterais des propriétés suivantes:
j=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}=e^{\frac{2i\pi}{3}} , |j|=1 , j^3=1 , j^2=\bar{j} , 1+j+j^2=0   
pour tout nombre complexe x , xj est l'image de x dans la rotation de centre 0 et d'angle \frac{2\pi}{3} donc x,xj et xj^2 forment un triangle équilatéral de centre 0 et de coté |x||1-j|=|x|\sqrt{3} ...
Violà philoux et j'espére que je n'ai pas dis de bétises  

Posté par philoux (invité)re : problème complqué pr moi, ;je ne sais pas quel niveau 19-07-05 à 18:30

>majid52 (Chaumont ?)

Merci pour toutes ces explications !

j'ai en effet confondu :
j barre et moins j  
et
pi/3 et 2pi/3

Autre question :

Est-ce que prendre 4 complexes : x, y, z, t et

x²+y²+z²+t²=xy+xz+xt+yz+yt+zt

ferait intervenir des rotations de pi/2 et donc des carrés de diagonale x ?

Philoux




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