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Problème d'aire
Dans ce probblème il y a deux parties, la première ayant été faite en classe sur ordinateur et la deuxième qui est a faire en DM. N'arrivant pas à mettre une photo le la figure, je vous la décris: ABCD est un rectangle inscrit dans un cercle(A en haut à gauche, B en haut à droite, C en bas à droite et D en bas à gauche). On fera apparaître la diagonale [BD] et le segment [AM] se coupant en P, [AM] coupant [DC] en M ( DM sera plus grande que MC). Oui je sais ma description n'est pas très mathématiques...
1ère partie: Conjecturer sur Géoplan
Construire un rectangle ABCD inscrit dans un cercle tel que AD=2AB. M est un point libre de [DC].
Les droites (AM) et (DB) se coupent en P. Créer les triangles PAB et PMD. Afficher les aires des triangles PAB et PMD puis la somme des aires ainsi que les valeurs aux bornes et extremum.
2ième partie: Démonstration en DM
Dans cette partie, on prendra AB=1 et AD=2 et on pose DM=x.
1) a. Montrer que PAB et PMD sont de même forme (ou semblables).
b. Déterminer en fonction de x, le rapport de réduction de PAB à PMD.
2) a. On note h la mesure de la hauteur issue de P dans le triangle PMD et h' la mesure de la hauteur issue de P dans PAB. Justifier les deux égalités h+h'=2 et h=h'x.
b. En déduire que h'=2/(1+x) puis exprimer l'aire du triangle PAB.
c. En déduire l'aire du triangle PMD et la somme des aires de PAB et PMD.
3) On considère la fonction f(x)=x²+1/x+1 définie sur l'intervalle [0;1].
A l'aide d'un tableau de valeurs (avec un pas de 0.1) construire la courbe de cette fonction.
Dresser le tableau de variations de f sur [0;1] en précisant l'extremum à 0.01 près, puis retrouver les résultats conjecturés dans la première partie.
Voici mes résultats pour la deuxième partie:
1) a. PAB et PMD sont semblables ssi leurs 3 angles sont égaus 2 à 2.
Ils ont l'angle P en commun (angle opposé) et PDM=ABP car ils sont alternes-internes (la diagonale [BD] coupant B et D ).
Le 3e angle de PAB et PMD sont donc forcément égaux.
2)On a le rapport suivant PM/PA=PD/PB=MD/AB soit PM/PA=PD/PB=x/1 mais comment connaît-on le rapport??
3)AB=DC=1
h et h' sont des hauteurs, respectivement des côtés [DC] et [AB], donc hh'=AD=BC=2.
Après je n'y arriva pas du tout...
Merci d'avance pour ceux qui useront un peu de leur temps pour m'aider.
Veuillez m'excuser!
Dans la première partie, après "[...]puis la somme deces aires"ia un point avec ensuite une dernière phrase: "Déplacer M etconjecturer les variations de la somme des aire ainsi que les valeurs aux bornes etextremum."
Bonjour,
Je pense que la figure est la suivante :
Oui, les deux triangles PAB et PMD sont semblables et toutes les longueurs des segments homologues sont proportionnelles. Tu as trouvé le rapport de réduction : c'est x
Tu dois (mais c'est la phrase que j'ai écrite plus haut) justifier que h = h' x
et à toi pour la question 2b
aide : elle se démontre avec ce qui vient d'être dit
h + h' = 2
h = h' x
Question 3 : attention il faut bien écrire, c'est-à-dire avec des parenthèses
f(x) = (1 + x2) / (1 + x)
Merci Coll!
je viens de trouver cela, dis moi si c'est juste :
2) a. h+h'=2 cela je sais le démontrer.
h=h'x car on multiplie h' par x qui est le rapport de réduction dans ce cas là.
b. On remplace h=h'x dans h+h'=2:
h'
x+h'=2
h'x+1h'=2
h'(x+1)=2
d'où h'=2/(1+x)
Aire(PAB)=h'AB
=2/(x+1)1
=2/(x+1) cm²
c. Aire(PMD) Aire(PAB)
Aire(PMD) k² Aire(PAB)
Aire(PMD) x²/1 soit x² Aire(PAB)
Aire(PMD)=2/(1+x)x²=2x²/(1+x)cm²
Aire(PAB)Aire(PMD)=2x²/(1+x)+2/(1+x)=2(x²+1)/(1+x)cm²
3) f(x)= (x²+1)/(x+1) sur [0;1]
je ne sais pas faire de tableau de variations sur ce forum...
f admet un minimum local en x=0.4 et sa valeur es f(0.4)=0.8285 soit 0.83 à 0.01 près.
Aire(PAB) est à son maximum quand x=0
Aire(PMD) est à son maximum quand x=1 et pour cette valeur Aire(PMD)=Aire(PAB).
En revanche quand x=0.4 les aires de PAB et PMD sont à leur minimum!
voilà! merci d'avance à ceux qui confirmeront mon travail.
Aire d'un triangle : (1/2) (base) (hauteur)
Tu as oublié de diviser par 2 l'aire du triangle PAB ; donc aussi l'aire du triangle PDM
La somme des aires vaut donc (x2 + 1)/(x + 1)
et... tu reconnais la fonction que la question suivante te demande d'étudier.
Je te fais le tableau de variation (qui est plutôt du programme de première ; donc le tien doit simplement ressembler à celui-ci à partir de ton tableau de valeurs) :
le minimum de la fonction a lieu pour x = -1 + 
2 
0,414...
et ce minimum vaut
2[(2) - 1] 0,828...
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