Bonjour à tous, je bloque sur 5 questions d'un problème d'algèbre. Voici l'énoncé :
On appelle l'ensemble des matrices où .
On appelle définie par .On note Ker .
Je vous mets ma première question :
On a montré que est de dimension 2 puisque s_0 est une forme linéaire sur et donc est un hyperplan de .
Montrer que .
En fait, c'est la matrice de A qui me pose problème : je ne sais pas quelle forme elle doit prendre.On sait que a+b+c=0 mais aussi que est la trace de M(a,b,c) mais je ne sais pas faire le lien avec tout ça..
Merci si vous prenez du temps pour répondre !
salut
si s(A) = 0 alors a + b + c = 0
donc tu peux exprimer l'un des coefficients en fonction des deux autres puis donner la matrice A et enfin calculer AM ...
Bonjour,
Ok j'ai réussi cette question elle n'était pas très compliquée en fait..
Un sous espace vectoriel H de M est dit absorbant si .
On note définie par ,
définie par , Ker et Ker avec j une racine cubique de 1 non réelle.
On a montré que
-Montrer que tout sous espace vectoriel H absorbant de M possédant un élément inversible pour la multiplication est égal à M (Montrer que la matrice identité appartient a H).
question réussie
-En déduire que tout sous espace vectoriel absorbant de , différent de est inclus dans .
Je ne vois vraiment pas le lien avec la question précédente :
Est ce que sont les seuls sous espaces vectoriels absorbants ne possédant pas d'élément inversible pour la multiplication? Je ne vois pas trop.
Merci je votre aide (Je mettrai mes dernières questions si quelqu'un me répond )
pour la première question, on remarquera en ajoutant les colonnes d'une matrice de M que le déterminant se factorise par (a+b+c), ce qui donne immédiatement le résultat.
Oui la trace de est 3a donc aucun rapport avec le problème ici..
Ok, soit .Tout sev absorbant H de M qui est différent de M ne possède pas d'élément inversible pour la multiplication donc M n'est pas inversible donc son déterminant est nul puis et les inclusions recherchées.
Je vous embête une dernière fois avec mes 3 dernière questions :
On souhaite montrer que tout espace vectoriel absorbant F de M différent de M vérifie ou ou
-Soit .Soient A, B . Montrer que . Si A et B sont éléments de F, que vaut ?En déduire l'existence d'un entier naturel k, tel que .
Bon pour la première partie, par multi linéarité du déterminant, or A et B sont éléments de M donc on connait leur déterminant mais en ayant fait les calculs je n'aboutis pas sans savoir où est mon erreur ..
Ensuite, mais je ne sais pas comment le justifier. L'existence de k vient naturellement après.
On suppose et et .Il esxiste donc appartenant à F vérifiant pour k compris entre 0 et 2. Montrer que
.
Calculer de 2 manières le déterminant de , trouver une contradiction et conclure.
J'avoue ne pas avoir d'idée pour ces 2 dernières questions sauf pour la conclusion : par un raisonnement par l'absurde on aboutit au résultat recherché..
Merci si vous prenez du temps pour répondre!
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