Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau école ingénieur
Partager :

Problème d'analyse harmonique

Posté par
Frost94
30-12-17 à 14:38

{problème d'analyse harmonique}

Bonjour,

Je me trouve face à un problème de compréhension pour mon problème de maths, voici l'énoncé :

Soit une fonction f: continue et 2-périodique:
V(f)=(1/8²)*(02)|f(x)-f(y)|²*dx*dy

où |.| module d'un nombre complexe

1) Si f est de Classe C1, montrer que V(f')V(f)
2) Soit F: une fonction k-lipschitzienne, soit g telle que :
g=F o f
Montrer que V(g)k²*V(f)
3) Si l'équation différentielle
f'=F(f)
avec F: une fonction k-lipschitzienne, admet une solution 2-périodique non constante, montrer que k1.

Je ne suis qu'à la première question mais mon problème est dans la présentation du module complexe dans l'intégrale. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment réécrire cette intégrale ou me guider svp ?

cdlt,

Antoine

Posté par
jsvdb
re : Problème d'analyse harmonique 30-12-17 à 15:54

Bonjour Frost94
Tu as présenté une intégrale double, mais il manque un domaine d'integratimon.

Posté par
jsvdb
re : Problème d'analyse harmonique 30-12-17 à 15:54

... d'intégration

Posté par
Frost94
re : Problème d'analyse harmonique 30-12-17 à 15:57

Oh oui pardon jsvdb
Le domaine d'intégration est le même pour les deux variables

V(f)=(1/8²)*0202|f(x)-f(y)|²*dx*dy

Posté par
jsvdb
re : Problème d'analyse harmonique 04-01-18 à 18:28

Je vais indiquer une piste possible qu'il faut peaufiner car ma constante finale en rouge doit être égale à 1 ...
On pose \Omega = [0;2\pi]

1) On pose g : (x;y)\in \Omega^2 \mapsto f(x) - f(y) \in \C. g \in C^1(\Omega^2;\C)

On a V(f) = \begin {aligned} \int_{\Omega^2}^{}{|g(x;y)|^2dx.dy} = ||g||^2_{L^2(\Omega^2)} \end {aligned}

Par ailleurs, V(f') = \begin {aligned} \int_{\Omega^2}^{}{|f'(x)-f'(y)|^2dx.dy} =\int_{\Omega^2}^{}{\left |\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}\right|^2dx.dy} = \left |\left |\frac{\partial g}{\partial x}\right|\right|^2_{L^2(\Omega^2)}+\left |\left |\frac{\partial g}{\partial y}\right|\right|^2_{L^2(\Omega^2)} = 2||f'||^2_{L^2(\Omega)}\end {aligned} ...

... car \frac{\partial g}{\partial x} et \frac{\partial g}{\partial y} sont orthogonales dans L^2(\Omega^2) car f est périodique.

On est donc amené à montrer que : ||g||^2_{L^2(\Omega^2)} \leq 2||f'||^2_{L^2(\Omega)}. Or :

\begin {aligned}|f(x) - f(y)| &= \left| \int_{y}^{x}{f'(t) dt} \right| \\ & \leq \int_{y}^{x}{|f'(t)| dt} \text { On applique Hölder :} \\ & \leq |x-y|^{1/2}\left(\int_{y}^{x}{|f'(t)|^2 dt}\right)^{1/2} \end {aligned}

\begin {aligned} |f(x) - f(y)|^2 \leq {\blue|x-y| \int_{y}^{x}{|f'(t)|^2 dt} \leq |x-y| \int_{0}^{2\pi}{|f'(t)|^2 dt}}=|x-y|||f'||^2_{L^2(\Omega)}\end{aligned}

Il suit que : ||g||^2_{L^2(\Omega^2)} \leq {\red \frac{2\pi^3}{3}}.2||f'||^2_{L^2(\Omega)} puis que V(f) \leq {\red\frac{2\pi^3}{3}}V(f')

La constante en rouge vient de \begin {aligned} \int_{\Omega^2}^{}{|x-y| dx.dy}= \frac{4\pi^3}{3} \end {aligned}.

Donc il faut regarder où ma démo ne va pas. Probablement quelque chose qui a été majorée trop fort : je pense au passage en bleu qui ne doit pas assez exploiter le fait que f' est d'intégrale nulle... ou pas ... si quelqu'un voit

Posté par
jsvdb
re : Problème d'analyse harmonique 12-01-18 à 15:12

On peut utiliser la base Hilbertienne \{e^{ikx} / k\in \Z\} de L^2(0;2\pi).

Si f(x) = e^{ikx}, ~f'(x) = ike^{ikx} alors clairement :

\begin {aligned} \int_{\Omega}^{}{|f(x)-f(y)|^2}=\int_{\Omega}^{}{|e^{ikx}-e^{iky}|^2}\leq k^2\int_{\Omega}^{}{|e^{ikx}-e^{iky}|^2} =\int_{\Omega}^{}{|f'(x)-f'(y)|^2} \end {aligned}

D'où, dans ce cas : V(f) \leq V(f')

Posté par
jb2017
re : Problème d'analyse harmonique 13-01-18 à 00:31

Bonjour @jsvdb
Si on y réfléchit un peu, on peut (sans restriction de la généralité) supposer que f(0)=0 et puis que f est à valeurs dans R.
Le résultat va donc découler de \int_0^{2\pi}  f(x)^2 dx \leq \int_0^{2\pi}  f'(x)^2 dx.
Mais ça c'est l'inégalité de Poincaré qui est bien connu mais avec la constante =1.
Or sauf erreur on ne sait trouver cette constante (optimale) qu'en passant par la base de Hilbert.
C'est à dire que je pense qu'il faut choisir ta deuxième solution, ta première ne pourra donner qu'une constante moins bonne.  

Posté par
perroquet
re : Problème d'analyse harmonique 13-01-18 à 08:22

Bonjour à tous.

En exploitant les idées de jsvdb et jb2017, j'ai obtenu une démonstration de la première question.
Je note c_k (f) les  coefficients de Fourier de f.

D'abord, pour tout y:
\frac {1}{2\pi}  \int_0^{2\pi} |f (x) -f (y)|^2 dx = |c_0 (f) -f (y)|^2 + \sum_{k \in \mathbb{Z}^*} |c_k (f)|^2

On en déduit que    V (f)= \sum_{k \in \mathbb{Z}^*} |c_k (f)|^2

L'inégalité demandée devient évidente.

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1291 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !