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probleme d arithmétique

Posté par skater5701 (invité) 02-10-05 à 22:35

J'ai un gros souci d'arithmétique en fait ya 2 exo ke je dois faire mais ke je ne comprend pas !

I)
1) Démontrer que pour tout entier naturel non nul p, on a l'éalité suivante :

(1/p)-[1/(p+1)]=1/[p(p+1)]

2) en déduire  la valeur de la somme S suivante

(1/1*2)+(1/2*3)+(1/3*4)...(1/2004*2005)

II)Montrer que : (1/a+1/b)/(1/a-1/b)+(1/a-1/b)/(1/a+a/b)=2[(1+a²/b²)/(1-a²/b²)]

Posté par tite_ange (invité)re : probleme d arithmétique 02-10-05 à 22:47

bonsoir
(1/p)-[1/(p+1)]= p+1 -p / p(p+1)
               = 1/ p(p+1)
2) donc
1/1*2 = 1/1 - 1/2
1/2*3 = 1/2 - 1/3
et ainsi de suite jusqu'à
1/2004*2005 = 1/2004- 1/2005
donc on aura = 1/1 - 1/2005
             = 2004/2005

Posté par
Redmanre : probleme d arithmétique 02-10-05 à 22:51

écrivons tout en latex:
p\in \mathbb{N}^*
4$\frac{1}{p} - \frac{1}{p+1} = \frac{1}{p+1}

démonstration:

3$\frac{1}{p} - \frac{1}{p+1} = \frac{p+1}{p(p+1)} - \frac{p}{p(p+1)}
                            4$= \frac{p+1-p}{p(p+1)}
                            5$ \red \fbox {= \frac{1}{p(p+1)}}
CQFD

Posté par tite_ange (invité)re : probleme d arithmétique 02-10-05 à 22:52

Comment faites-vous pour écrire ainsi?

Posté par
Tom_Pascal Webmasterre : probleme d arithmétique 02-10-05 à 22:54

LaTeX power !

Posté par tite_ange (invité)re : probleme d arithmétique 02-10-05 à 22:56

Merci j'ai déjà vu ces tableaux mais c'est très dur dans l'application

Posté par
Redmanre : probleme d arithmétique 02-10-05 à 22:58

(1/1*2)+(1/2*3)+(1/3*4)...(1/2004*2005)

\frac{1}{1\times 2} + \frac{1}{2\times 3} + ... + \frac{1}{2004\times 2005}

4$= \sum_{i=1}^2004 \frac{1}{i(i+1)}
4$= \sum_{i=1}^2004 \frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}
5$\red \fbox{= \frac{1}{2005}}

Il faut alors le démontrer par récurrence (c'est même indispensable), je te laisse faire

Posté par
Redmanre : probleme d arithmétique 02-10-05 à 22:59

désolé,
c'est
\\ 5$\sum_{i=1}^{2004}

Posté par
Tom_Pascal Webmasterre : probleme d arithmétique 02-10-05 à 22:59

tite_ange, sur le latex :

Meuh non... faut commencer petit à petit...

Pour les fractions, c'est facile... la formule magique c'est :
\frac{numérateur}{dénominateur} (entre balises [ tex] et [ /tex] bien sûr.

Donc pour faire ce qu'à fait Redman, tu peux le faire facilement :

[ tex]\frac{1}{p} - \frac{1}{p+1} = \frac{1}{p+1}[ /tex]
donnera :
\frac{1}{p} - \frac{1}{p+1} = \frac{1}{p+1}

Tu peux t'entraîner avec l'aperçu avec postage ou la zone "Entrainez vous" du guide latex...

En utilisant petit à petit les possibilités du latex, ca va très bien

Posté par tite_ange (invité)re : probleme d arithmétique 02-10-05 à 22:59

Moi j'ai trouvé 2004/2005 Je crois que vous avez oublié le 1/1 au début  non?

Posté par
Redmanre : probleme d arithmétique 02-10-05 à 23:00

5$\sum_{i=1}^{2004}

Posté par tite_ange (invité)re : probleme d arithmétique 02-10-05 à 23:00

Merci Tom_Pascal pour tout ce que vous faites

Posté par
Redmanre : probleme d arithmétique 02-10-05 à 23:04

oui pardon! c'est bien

5$ \red \fbox {\sum_{i=1}^{2004} \frac{1}{i(i+1)} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2005} = \frac{2004}{2005}}

Posté par tite_ange (invité)re : probleme d arithmétique 02-10-05 à 23:05

Que veut dire le grand E ? On ne l'etudie pas encore en seconde

Posté par
Redmanre : probleme d arithmétique 02-10-05 à 23:06

pour revenir au vif du sujet,

je laisse skater5701 démontrer ce résultat par recurrence

Posté par tite_ange (invité)re : probleme d arithmétique 02-10-05 à 23:08

Il n'est plus là je crois
Bonne fin de soirée

Posté par
Redmanre : probleme d arithmétique 02-10-05 à 23:11

c'est à dire somme :

par exemple :
5$ 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = \sum_{i=1}^{n} i

on écrit en dessous du Epsilon, \sum le terme de départ et en haut, celui d'arrivé. A droite, le terme général :

\sum_{{\rm~terme~de~depart}}^{{\rm~terme~d'arrive}} {\rm~terme~general}

Posté par
Redmanre : probleme d arithmétique 02-10-05 à 23:16

autre exemple :

\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{10} = \Bigsum_{i=5 }^{10} \frac{1}{i}

Posté par tite_ange (invité)re : probleme d arithmétique 02-10-05 à 23:17

Merci pour l'explication redman


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