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problème d'arithmetique
Posté par kaboreced
bonjour besoin d'aide sur cet éxo
on se propose de montrer qu'il n'existe pas huit nombres premier au plus égale à 1480 et formant une suite arithmétique : a,a+b,a+2b,.....,a+7b; pour cela
a)montrer que que b est pair
b)montrer que b est divisible par 6
c)montrer que b est divisible par 5
d)monter que b est divisible par 7
e)montrer que b est au moins égale à 210 et conclure
Bonjour
Tout nombre premier est congru à 1 mod 2
Soit a un nombre premier
a+b est congru à 1+b mod 2
sinon comme a est déjà impair on peut dire immédiatement que c=a+b est impair signifie obligatoirement que b est pair.
sinon pour la b)?
Un nombre premier ne peut être congru qu'a 1 ou 5 mod 6
-> a demontrer
B etant pair, il est congru a 0, 2 ou 4 mod 6
Que remarques tu si b est congru à 2 mod 6 ? Et si b est congru à 4 mod 6?
"Zormuche"
Un nombre premier ne peut être congru qu'a 1 ou 5 mod 6
Un nombre premier ne peut être congru qu'a 1 ou 5 mod 6
j'ai deja une idée pour demontrer ça
ensuite
si b est congru à 2 mod 6 alors on a 2=b+6k
si b est congru à 4 mod 6 alors on a 4=b+6k
ce qui est impossible jcrois?
Utiliser b n'est pas judicieux pour ça, risque de confusion avec l'exercice
Soit p un nombre premier
mais c'est vous qui m'avez dit de faire une comparaison entre b congru à 2 mod 6 ? Et b congru à 4 mod 6??
Ah oui ok j'ai cru que tu démontrais la première partie
Ce n'est pas ca qu'il faut voir.
On cherche a montrer que b ne peut être congru qu'a 0 mod 6. On sait déjà qu'il est pair
Alors eliminons les cas où il est congru à 2 et à 4 en trouvant des incohérences dans la primalité des nombres a,a+b...,a+7b
(Lorsque b congru à 2 ou 4, si on considère que a est premier, certains parmi les a+b... ne le sont pas)
Soit b congru à 2 mod 6
soit a un nombre premier - alors a est congru à 1 mod 6 ou à 5 mod 6
Si a est congru à 1 mod 6, alors a+b est congru à 3 mod 6 d'où l'incohérence car a+b n'est pas premier, c'est un multiple de 3
Si a est congru à 5 mod 6, alors il faut aller plus loin que a+b... je te laisse faire
alors si j'ai bien compris
s a est gongru à 5 mod 6, alors a+2b est congru à 9 mod 6 donc a+2b n'est pas premier car multiple de 9?
mais pour les 2 autres comment connaitre leur congruence (par exemple 17=2+5*3 (17 impair) mais 22=2+5*4 avec 22 pair?)