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Problème d'arithmétique

Posté par
Lucy12122
19-05-19 à 21:02

Bonjour, voilà je fait un petit exercice d'arithmétique et je bloque dans une question voici l'énoncé:
L'objectif de cet exercice est de chercher les entiers naturels n strictement supérieurs à 1 et qui vérifient la propriété suivante: (R):3n-2n0\left[n \right]
1_On suppose que n vérifie la propriété (R) et soit p le plus petit diviseur positif de n.
   a_ Montrer que n-n\left[p \right] et déduire que p5
    b_ Montrer que 2p-11\left[p \right] et 3p-11\left[p \right]
      c_Monter qu'il existe un couple (a,b) de 2 tel que: an-b(p-1)=1.
       d_ Soient r et q le reste de la division euclidienne de a par p-1 tel que a=q(p-1)+r avec 0r<p-1 et q
Monter q'il existe un entier naturel k tel que: rn=1+k(p-1)
2_ En déduire de tout ce qui précède qu'il n'existe pas d'entier naturel n strictement supérieur à 1 vérifiant (R).

   Donc j'ai fait presque toutes les questions mais je ne sais pas comment faire c j'essaie de montrer que p-1 et n sont premiers entre eux mais je ne sais pas vraiment comment doit-on utiliser Bezout?
Pour la question d voilà ce que j'ai fait :
on a: a=q(p-1)+r an=qn(p-1)+rn
                                    et d'après c:   an=1+b(p-1)
  j'ai fait la différence et j'obtiens: rn-(b-qn)(p-1)=1rn=1+(b-qn)(p-1)
il faut monter maintenant que (b-qn) j'ai don fait ceci:
on a rn et rn=1+(b-qn)(p-1)
1+(b-qn)(p-1)
donc (b-qn) et par suite il existe un k=b-qn tel que: rn=1+k(p-1)

Pour la dernière question j'ai utiliser l'absurde en supposant qu'il existe n et strictement supérieur à 1 vérifiant (R) et voilà ce que j'ai fait:
on a an=1+b(p-1)
et      an=rn+qn(p-1)
donc rn=1 ce qui est absurde.

Je ne suis pas sûr de mes réponses s'il vous plaît corriger moi, Merci d'avance pour votre aide.
                

    

Posté par
Lucy12122
re : Problème d'arithmétique 19-05-19 à 21:17

Posté par
flight
re : Problème d'arithmétique 19-05-19 à 22:23

salut

question1a ) enoncé mal ecrit

Posté par
flight
re : Problème d'arithmétique 19-05-19 à 22:25

pour le 1b) c'est du theoreme de fermat , je pense que  p est premier meme si ce n'est pas dit

Posté par
Lucy12122
re : Problème d'arithmétique 19-05-19 à 23:21

flight @ 19-05-2019 à 22:23

salut

question1a ) enoncé mal ecrit

Mes excuses voici  la question:
Montrer que 3n -2n0\left[p \right] et déduire que p5
flight @ 19-05-2019 à 22:25

pour le 1b) c'est du theoreme de fermat , je pense que  p est premier meme si ce n'est pas dit

Oui p est premier désolé encore une fois j'ai utiliser Fermat c'est un question directe mais ce que je ne sais pas et la question c.
Merci beaucoup pour votre aide.

Posté par
Lucy12122
re : Problème d'arithmétique 19-05-19 à 23:24

Pour la question a j'ai fais ceci:
on a 3n-2n0\left[n\right] et p/n donc 3n-2n0\left[p \right]
Pour la déduction j'ai supposé que p=2 puis que p=3 et j'ai trouvé des contradictions.

Posté par
flight
re : Problème d'arithmétique 19-05-19 à 23:52

pour 3^n - 2^n = 0[n]  puisque n est un multiple de p   on a aussi 3^n - 2^n = 0[p]

Posté par
flight
re : Problème d'arithmétique 19-05-19 à 23:53

comme t'a fait c'est parfait ..

Posté par
flight
re : Problème d'arithmétique 19-05-19 à 23:57

..avec p =2
on peut partir de  3 =1[2] --> 3^n= 1[2]
                                        2=0[2] -->  2^n =0[2]
par difference  3^n - 2^n = 1[2]      donc si p =2 ,  3^n - 2^n 0[2]

Posté par
Lucy12122
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 00:02

flight @ 19-05-2019 à 23:57

..avec p =2
on peut partir de  3 =1[2] --> 3^n= 1[2]
                                        2=0[2] -->  2^n =0[2]
par difference  3^n - 2^n = 1[2]      donc si p =2 ,  3^n - 2^n 0[2]

Oui c'est exactement ce que j'ai fait sinon pour la question c je ne sais pas comment la faire dois-je utiliser Bezout? Mais comment? C'est là que j'ai bloqué.
Et pourriez-vous bien me corriger la question d et 2 j'ai écrit avec l'énoncé mes recherches mais j'ai des doutes.Encore une fois Merci.

Posté par
Lucy12122
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 01:36

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 08:00

Bonjour,
Oui, je pense qu'il faut utiliser Bezout pour c).
Poser d = pgcd(n, p-1) et démontrer d= 1 par l'absurde :

Si d 1 alors d a un diviseur premier q .
Trouve la contradiction.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 09:06

Pour d), il manque un petit quelque chose à la fin dans

Citation :
1+(b-qn)(p-1)
donc (b-qn)

1+(b-qn)(p-1) donne (b-qn)(p-1) -1 .
Il faut justifier b-qn 0 .

Posté par
flight
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 14:08

salut

Monter qu'il existe un couple (a,b) de Z² tel que: an-b(p-1)=1.
il suffit d'examiner le pgcd(n , p-1)  , comme  p >=5  alors p est impair et p-1 est pair
n etant un multiple de p,  si n est impair  alors pgcd(n,p-1)=1   sauf dans le cas ou n est pair

Posté par
flight
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 14:14

d_ Soient r et q le reste de la division euclidienne de a par p-1 tel que a=q(p-1)+r avec r< p-1
Monter q'il existe un entier naturel k tel que: rn=1+k(p-1)

avec  a=q(p-1)+r   on a  :  a = r[p-1]     et avec la relation an-b(p-1)=1.   on a  a.n = 1[p-1]
on multiplie membre à membre  a = r[p-1]   par n , il vient    a.n = r.n[p-1]

du coup avec a.n = 1[p-1]   et a.n = r.n[p-1]  par difference on a  r.n= 1[p-1]  donc  
rn = (p-1).k+ 1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 14:37

Bonjour flight,
Je pense que pour c) il faut utiliser p le plus petit diviseur premier de n .
Utiliser p impair ne suffit pas :
Avec n = 133 et p = 13 , on a pgcd(n, p-1) 1 .

Posté par
flight
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 16:48

effectivement Sylvieg !! merci ... me suis fait piegé

Posté par
carpediem
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 17:52

salut

je ne vois pas comment on peut répondre à cette question c ...

p est un (le plus petit) diviseur (premier) de n donc il existe un entier k tel que n = kp

or n = kp = k(p - 1) + k

donc pgcd (n, p - 1) = pgcd (kp, p - 1) = pgcd (k, p - 1)

car deux entiers consécutifs p - 1 et p sont premiers entre eux
car p est premier et ne divise évidemment pas p - 1
car pgcd (a, b) = pgcd (a - kb, b)

et je ne vois aucune raison pour que pgcd (k, p - 1) = 1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 18:02

Citation :
Poser d = pgcd(n, p-1) et démontrer d= 1 par l'absurde :

Si d 1 alors d a un diviseur premier q .
q divise n et p-1 .
q < p , q est premier et divise n . Il y a contradiction avec p le plus petit.

Posté par
carpediem
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 18:28

ok ça semble convenir ...

mezalor que penses-tu de :

supposons qu'il existe des entiers a et b tels que an + b(p - 1) = 1

or 1 = p - (p - 1)  donc  (ak - 1)p = (b - 1)(p - 1)

or p et p - 1 sont premiers entre eux donc p divise b - 1 et p - 1 divise ak - 1

donc il existe des entiers x et y tels que b - 1 = xp  et  ak - 1 = y(p - 1)

donc yp(p - 1) = xp(p - 1) \iff x = y

donc ak = x(p - 1) + 1 $ et $ b = xp + 1

alors an + b(p - 1) = akp + b(p - 1) = xp(p - 1) + p + (xp + 1)(p - 1) = xp^2 - xp + p + xp^2- xp + p - 1 = 2xp^2 - 2xp + 2p - 1 = 1

donc p(xp + x + 1) = 1 => p divise 1

absurde

où est l'erreur ?

Posté par
Lucy12122
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 18:33

Merci beaucoup pour votre aide vous me sauvé vraiment

Sylvieg @ 20-05-2019 à
09:06


Pour d), il manque un petit quelque chose à la fin dans
Citation :
1+(b-qn)(p-1)
donc (b-qn)

1+(b-qn)(p-1)   donne  (b-qn)(p-1) -1 .
Il faut justifier   b-qn 0 .

En effet mon resonnement était puisque 1+(b-qn)(p-1) et 1 est entier naturel alors il faut que le produit et on a p-1 est un entier donc il est obligatoire que b-qn soit un entier naturel.
Croiez-vous que ceci est clair??
Pour la question c j'avais posé un d mais je n'ai pas su comment l'utiliser (utiliser l'absurde) votre idée m'aide beaucoup.
Sinon mon raisonnement est-il d'après vous juste ou faux en ce qui concerne la derniere question. Encore une fois Merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 18:43

Ce n'est pas (b-1) dans la 2de ligne mais (-b-1) .
Mais bon, ça ne change pas grand chose.
De toutes façons, au 2), on démontre que n n'existe pas. Tomber dessus avant n'est pas étonnant.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 18:44

Je répondais à carpediem.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 18:48

Pour b-qn dans :
1+(b-qn)(p-1) est dans ; donc (b-qn)(p-1) -1 .
Il faut démontrer (b-qn)(p-1) -1 .

Posté par
carpediem
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 18:49

ha si ça change tout effectivement !!!

on obtient alors la tautologie 1 = 1 ... sans intérêt ..

désolé ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 19:09

Pour 2), je ne vois pas d'où vient rn = 1 dans :

Citation :
on a an=1+b(p-1)
et an=rn+qn(p-1)
donc rn=1 ce qui est absurde.

Pour le moment, je sèche...

Posté par
carpediem
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 20:12

il existe des entiers a et b tels que an - b(p - 1) = 1

soit a = q(p - 1) + r la division euclidienne de a par p - 1

an - b(p - 1) = 1 \iff rn + (nq - b)(p - 1) = 1 \iff rn = (b - nq)(p - 1) + 1

si r = 0 alors a= q(p - 1) donc (p - 1)(nq - b) = 1 donc p - 1 divise 1 ce qui est absurde

donc r > 0 donc rn - 1 =(b - nq)(p - 1) \ge 0 donc k = b - nq \ge 0

Posté par
carpediem
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 20:14

je ne comprends cependant pas comment on conclut ... ni même la logique de ce pb ..

par exemple que vient faire la question 1b/ dans l'exercice ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 20:43

Pour (b-qn)(p-1) -1 il suffit d'utiliser p 5 .

Pour 2), peut-être utiliser 1)b) justement ?

Posté par
Lucy12122
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 20:52

Sylvieg @ 20-05-2019 à 19:09

Pour 2), je ne vois pas d'où vient  rn = 1  dans  :
Citation :
on a an=1+b(p-1)
et      an=rn+qn(p-1)
donc rn=1 ce qui est absurde.

Pour le moment, je sèche...

an=1+(p-1)b
an=rn+(p-1)qn
Si on compare les 2 écritures ne peut-on pas dire que qn=b et rn=1???

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 20:59

Non.

Posté par
Lucy12122
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 21:09

Sylvieg @ 20-05-2019 à 20:59

Non.

Mince alors je croyais qu'on pourrait le faire bon merci pour votre aide je vais essayer de trouver une contradiction.

Posté par
Lucy12122
re : Problème d'arithmétique 20-05-19 à 21:20

Voici ce que j'ai fait pour la dernière question:
on a 3p-11\left[p \right]
donc 3rn3\left[p \right]
avec rn=1+k(p-1)
et de la même manière 2rn2\left[p \right]
donc 3rn-2rn1\left[p \right]
et ona rn>1 donc il existe un n'=rn>1 tel que 3n'-2n'1\left[p \right]
ce qui est absurde avec le résultat 1_a

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème d'arithmétique 21-05-19 à 08:39

Bonjour,
Je reviens sur
an=1+(p-1)b
an=rn+(p-1)qn

Avec a= n = 11 et p =7 :
an = 1+620
an = 511 + 6111 .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème d'arithmétique 21-05-19 à 09:31

Pour ton message de 21h20 :
Je suis d'accord avec 3rn - 2rn 1 [p]
Tu remarqueras que le k du 1)d) est utilisé.

Après il faut justifier en quoi c'est contradictoire avec 1)a).
Pour ça, je te conseille de factoriser 3rn - 2rn par 3n - 2n .

Posté par
lake
re : Problème d'arithmétique 21-05-19 à 16:39

Bonjour,

Un bel exercice !

Posté par
Lucy12122
re : Problème d'arithmétique 21-05-19 à 20:30

Sylvieg @ 21-05-2019 à 09:31

Pour ton message de 21h20 :
Je suis d'accord avec    3rn - 2rn    1  [p]
Tu remarqueras que le  k  du  1)d)  est utilisé.

Après il faut justifier en quoi c'est contradictoire avec  1)a).
Pour ça, je te conseille de factoriser  3rn - 2rn  par  3n - 2n .

Merci je le ferai

Posté par
Lucy12122
re : Problème d'arithmétique 21-05-19 à 20:33

Sylvieg @ 21-05-2019 à 08:39

Bonjour,
Je reviens sur
an=1+(p-1)b
an=rn+(p-1)qn

Avec  a= n = 11  et  p =7 :
an = 1+620
an = 511 + 6111 .

Vous avez raison ceci est un bon contrexemple de ce que j'avais écrit Merci.

Posté par
Lucy12122
re : Problème d'arithmétique 21-05-19 à 20:37

lake @ 21-05-2019 à 16:39

Bonjour,

Un bel exercice !

L'arithmétique c'est tout beau

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Problème d'arithmétique 21-05-19 à 21:26

Oui, mais pas toujours facile



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