Niveau concours

Problème d'écriture

Posté par
jonjon71 02-06-10 à 22:03

Bonjour,

Je voudrais avoir votre avis concernant une notation dont je ne suis pas sûr.

Je vous explique le contexte : on veut trouver l'ensemble des isométries qui conserve un hexagone régulier ABCDEF de centre O que je note Is(ABCDEF). On remarque que les triangles ACE et BDF sont équilatéraux et que l'un est l'image de l'autre par la symétrie centrale de centre O.

Ainsi puis-je écrire que Is(ABCDEF) = Is(ACE) o {Id,s_O} ?

J'entends par là que Is(ACE) o {Id,s_O} = {f o g / f Is(ACE) et g {Id,s_O}}.

Cette écriture est-elle correcte ?

J'ai vu sur internet cela Is(ABCDEF) = Is(ACE) x {Id,s_O} mais cela ne semble pas correct.

Merci.

Posté par re : Problème d'écriture 02-06-10 à 23:04

Bonsoir.
Y'a une histoire de produit direct ou semi-direct...
mais vu qu'on écrit aussi $Is_{-}(Q)=s o Is_{+}(Q)$ ...je dirais que ta notation est "pratique"

sauf erreurs.

Posté par re : Problème d'écriture 03-06-10 à 21:34

Ok est-ce-que tu peux développer l'histoire de produit direct ou semi-direct ?

Y'a-t-il d'autres avis ?

Merci.

Posté par re : Problème d'écriture 06-06-10 à 15:23

Salut,

en ce qui me concerne je n'ai jamais vu cette notation. Is(ACE) x {Id,s0} ok, avec un produit semi direct aussi (c'est une sorte de papillon à la place de la croix, cf là par exemple : ), Is(ACE){Id,s0} passe encore, mais je ne mettrais pas de "rond de composition" au milieu, même si on comprend ce que tu veux dire.

En fait ça dépend.

- Si tu veux juste dire que tout élément de Is(ABCDEF) s'écrit comme produit d'un élément de Is(ACE) avec un élément {Id,s0}, alors je pense que la notation Is(ABCDEF)=Is(ACE){Id,s0} convient (par définition, si (G,.) est un groupe, et si H et K sont deux sous groupes, on note HK={h.k,hH,kK}) Le problème c'est que cette notation n'est a priori pas symétrique : on n'a pas HK=KH.

- Maintenant, si tu veux plus d'informations, notamment sur la structure de groupe de Is(ABCDEF), alors il faut utiliser une notation qui fait apparaître un produit direct ou semi direct (c'est à dire Is(ABCDEF)=Is(ACE) x {Id,s0} pour le produit direct, et pareil pour le produit semi direct en remplaçant la croix par le papillon). Ici dans ton cas, il se trouve que Is(ABCDEF) est produit semi direct de Is(ACE) par {Id,s0} (c'est en fait le groupe diédral D_6).

Quel est le lien entre ces trois notations (produit, direct, semi direct) ? Comment montrer qu'on a un produit direct, semi direct ? Ces deux résultats répondent à ces questions :
G un groupe, H et K deux sous groupes.
- G est produit direct de H et K ssi G=KH, K et H sont d'intersection vide, K et H sont distingués dans G.
- G est produit semi direct de H et K ssi G=KH, K et H sont d'intersection vide, K est distingué dans G.

Du coup, on a clairement produit direct => produit semi direct => produit.

Posté par re : Problème d'écriture 06-06-10 à 15:27

Intersection triviale, pas vide bien sûr. Il y a quand même l'identité dans l'intersection !

Posté par re : Problème d'écriture 06-06-10 à 18:27

merci beaucoup fade2black

je ne maitrise pas du tout la notion de produit direct donc je vais m'abstenir dans parler à l'oral du capes !!!

Posté par re : Problème d'écriture 06-06-10 à 19:36

Tu n'as pas de craintes à avoir à propos du produit direct. C'est absolument pas compliqué.

Si tu as deux groupes (G,.) et (G',*), le produit direct G x G' est par définition l'ensemble {(g,g'),gG,g'G'} sur lequel on met la loi de groupe (que je note ) la plus simple qu'on puisse imaginer : (g1,g1')(g2,g2')=(g1.g1',g2*g2').

Donc par exemple, si j'ai G=Z/2Z et G'=Z/3Z, je regarde le produit direct Z/2Z x Z/3Z. Il est composé des éléments (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2). C'est un groupe, et pour faire le produit de deux éléments de ce groupe, on fait le produit de chaque coordonnée.

Le produit semi direct par contre est plus compliqué ; la loi qu'on met sur le produit est "tordue" et vaut mieux éviter d'en parler je pense !