GA² + GB² + GC²
= (2/3 AA')² + (2/3 BB')² + (2/3 CC')²
= (1/3 (AB + AC))² + (1/3 (BA + BC))² + (1/3 (CA + CB))²
= 1/9 (2AB² + 2AC² + 2BC² + 2 (AB.AC + BA.BC + CA.CB))
= 1/9 (2c² + 2b² + 2a² + 2 (AB.AC + BA.BC + CA.CB))
--------- or a² = b² + c² - 2 AB.AC , d'après Al-Kashi
--------- or b² = a² + c² - 2 BA.BC , d'après Al-Kashi
--------- or c² = a² + b² - 2 CA.CB , d'après Al-Kashi

et la démonstration et fini ?

il faut quand même simplifier l'expression, non ?

Bonjour, j'ai moi même cette exercice à faire, sur lequel je bloque une peu ...
j'ai bien entendue essayer de comprendre votre réponse pgeod. Concernant le théorème d'Al-kashi, j'en ai un different : a²= c²+b² -2ab cosalpha ... j'en déduis donc que cos alpha est égale à AB. AC ?!
Ensuite, les lettres primes que vous avez introduites, a quoi correspondent-elles?

En espérant une réponse, vu que je réponds à ce topic longtemps après sa publication ...
Merci d'avance !

Hum, je pense avoir compris, pour cos alpha, dans mon théorème alpha correspond à la mesure de l'angle AB.AC, c'était une question stupide ...
Et pour les lettres primes, c'est la lettre que vous avez donné mediane du point qui coupe le segment opposé non? (Ma phrase est très mal formulée, j'en ai conscience, mais l'idée est là...)
Merci

Juste une dernière chose ...
je n'ai pas compris cette ligne :
= (2/3 AA')² + (2/3 BB')² + (2/3 CC')²
= (1/3 (AB + AC))² + (1/3 (BA + BC))² + (1/3 (CA + CB))²

Pourquoi avez vous introduit AB+AC pour AA' ? Ca n'est pas la relation de Chasles, je ne vois donc pas ce que ça peut être ...

Merci encore, d'avance !

A' milieu du sgement [BC].... idem pour les autres points '

2 AA' = AB + AC (en vecteurs) car A' milieu du sgement [BC]
diagonale d'un parallélogramme = somme vectorielle des 2 côtés adjacents.