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Problème d'intégration

Posté par
LaitDePoule 22-02-17 à 22:46

Bonsoir,

Pourrai-je avoir une piste sur la méthode la plus efficace à utiliser pour calculer cet intégrale?

\int \frac{\sin (x)}{sin^3(x)+cos^3(x)}dx

Merci .

Posté par
Razesre : Problème d'intégration 22-02-17 à 23:03

Si tu posais t=\tan(x)

Posté par
Pirhore : Problème d'intégration 23-02-17 à 08:40

Bonjour,

peut-être écrire l'énoncé sous la forme:

\dfrac{sin(x)}{sin^3 (x)+cos^3(x)}=\dfrac{sin(x)}{cos(x) cos^2(x)[\dfrac{sin^3(x)}{cos^3(x)}+1]}=\dfrac{tan(x)}{cos^2(x)[tan^3(x)+1]}

et ensuite appliquer la suggestion de Razes, que je salue.

Posté par
LaitDePoulere : Problème d'intégration 23-02-17 à 09:22

En effet je tombe sur une décomposition en élément simple, merci à vous!

Posté par
Pirhore : Problème d'intégration 23-02-17 à 09:35

de rien  

Posté par
jeansebre : Problème d'intégration 23-02-17 à 10:13

Bonjour

Si tu as mené le calcul jusqu'au bout, je suis preneur du résultat trouvé!

Posté par
etniopalre : Problème d'intégration 23-02-17 à 10:49

sin3 + cos3 est une application 2 -périodique  de dans   qui s'annule en -/4 et 3/4 .
On ne peut donc fabriquer f(x) :=  sin(x)/(sin3(x) + cos3(x)) que si x \ { -/4 + n | n }  ensemble qu'on peut noter U .
Pour tout x de U ona x  +    U et f(x) = f(x +) et donc pour avoir les primitives de f sur chaque Jn  il suffit  d'avoir celles sur J0 .
Et pour ça,  il suffit de trouver une simplification de   \int_{\pi/4}^{x}{\frac{sin(t)}{cos^3(t) + sin^3(t)}dt}

Posté par
jeansebre : Problème d'intégration 23-02-17 à 11:10

Je trouve:

\ln |x+1| - 1/2 \ln|x²-x+1|-1/\sqrt3 Arctan[2/\sqrt3 (x-1/2)] +C

Tu confirmes (ou infirmes) etniopal?

Posté par
alainpaulre : Problème d'intégration 23-02-17 à 11:12

Bonjour,


sin^3(x)+cos^3(x)=(sin(x)+cos(x))(sin^2(x)-sin(x)cos(x)+cos^2(x))=(sin(x)+cos(x))(1-sin(x)cos(x))

Voir la décomposition en fractions simples  de :\frac{sin(x)}{(1-sin(x)cos(x))(sin(x)+cos(x))}

Alain

Posté par
etniopalre : Problème d'intégration 23-02-17 à 16:04

Jn := ]-/4 + n , 3/4 + n[

   \int_{\pi/4}^{x}{\frac{sin(t)}{cos^3(t) + sin^3(t)}dt}=\int_{0}^{x-\frac{\pi}{4}}{} f(s +\frac{\pi}{4})ds=\int_{0}^{x-\frac{\pi}{4}}{\frac{sin(u)+cos(u)}{cos(u)(1+2sin²(s))}}  du

\\ \int_{0}^{x-\frac{\pi}{4}}{\frac{sin(u) }{cos(u)(1+2sin²(s))}}  du =  -\int_{0}^{Arcos(x-\pi/4)}{\frac{1}{v(3-2v²)}} dv

\int_{0}^{x-\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{1+2sin²(s)}}  du= \int_{0}^{Arctan(x-\pi/4)}\frac{1}{(1+v²)(1+2v²)}} dv

Sauf erreur .

Posté par
etniopalre : Problème d'intégration 23-02-17 à 17:54

jeanseb

f est   -périodique contrairement à  ce que tu trouves  .

Posté par
jeansebre : Problème d'intégration 23-02-17 à 18:14

Je veux bien... J'attends la réponse exacte. J'ai décomposé en éléments simples comme proposé plus haut et j'ai primitivé en 3 morceaux.

Posté par
Pirhore : Problème d'intégration 23-02-17 à 19:17

@etniopal :  pourquoi ne pourrait-on pas utiliser la méthode du post de 8:40, dans l'intervalle adéquat?

@jeanseb : je trouvais :

\dfrac{1}{6}~ln|u^2-u+1|+\dfrac{\sqrt{3}}{3}Arctan\dfrac{(2u-1)}{\sqrt{3}}-\dfrac{1}{3}~ln|u+1|+C

Posté par
jeansebre : Problème d'intégration 23-02-17 à 19:27

Ca ressemble à mon résultat, avec des constantes multiplicatives différentes...

Posté par
Razesre : Problème d'intégration 24-02-17 à 01:35

Comme a commencé Pirho, que je salue également.

Posons: f(x)=\dfrac{sin x}{\sin^3 x+\cos^3x}=\dfrac{\sin x}{\cos x \cos^2 x}.\dfrac{1}{\tan^3 x+1}
Avec: \dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x

D'où: f(x)=\dfrac{\tan x(1+\tan^2 x)}{\tan^3 x+1}=\dfrac{\tan^3 x+1+\tan x-1}{\tan^3 x+1}=1+\dfrac{\tan x-1}{\tan^3 x+1}

Donc:
F(x)=\int f(x)dx=\int \left (1+\dfrac{\tan x-1}{1+\tan^3 x}\right )dx=x+\int \dfrac{\tan x-1}{1+\tan^3 x} dx=x+G(x);
Avec : g(x)=\dfrac{\tan x-1}{1+\tan^3 x} et G(x)=\int g(x)dx

Posons: t=\tan x, donc: dx=(1+t^2)dt, d'où:
G(x)=\int \dfrac{\left (t-1  \right )(1+t^2)}{t^3+1}dt=\int \dfrac{t^3-t^2+t-1}{t^3+1}dt=\int \dfrac{t^3+1-t^2+t-2}{t^3+1}dt\\=\int \left (1-\dfrac{t^2}{t^3+1}+\frac{t-2}{t^3+1}  \right )dt=x-\ln\left |\tan^3x+1\right |+\int\dfrac{t-2}{t^3+1}dt=

On a : \dfrac{t-2}{t^3+1}=\frac{A}{t+1}+\frac{Bt+C}{t^2-t+1}=-\frac{1}{t+1}+\frac{t-1}{t^2-t+1}=-\frac{1}{t+1}+\frac{1}{2}\frac{2t-1}{t^2-t+1}-\frac{1}{2}\frac{1}{t^2-t+1}

N.B.: (2t-1) étant la dérivée de t^2-t+1

D'où:F(x)=2x-\frac{1}{2}\ln\left |\tan^3x+1\right |-\frac{3}{2}\ln\left | \tan x+1 \right |- \frac{1}{2}\int\frac{1}{t^2-t+1}dt
t^2-t+1=\left (t-\frac{1}{2}  \right )^2+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\left [ \left (\frac{2t}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right )^2+1 \right ]; on pose: u=\frac{2t}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow du=\frac{2}{\sqrt{3}}dt

\int\frac{1}{t^2-t+1}dt=\frac{2}{\sqrt{3}}\int \frac{1}{1+u^2}du=\arctan(u)+C; C\in\mathbb{R}

D'où:F(x)=2x-\frac{1}{2}\ln\left |\tan^3x+1\right |-\frac{3}{2}\ln\left | \tan x+1 \right |-\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\left (\frac{2\tan x}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right )+C; C\in\mathbb{R}

En espérant qu'il n y a pas d'erreur.

Posté par
etniopalre : Problème d'intégration 24-02-17 à 09:46

L'ensemble où f  est définie   est la réunion des intervalles J + n ( n dans )  , J désignant l'intervalle ]- /4 , 3 [ .

On regarde donc si , par exemple ,     F(x) :=\int_{\frac{\pi}{4}}^{x}{f} ne s'exprimerait pas à l'aide des fonctions connues .
Pourquoi  /4 ?
Parce que   /4 est le milieu de J et que  F(x) =  \int_{0}^{x-\frac{\pi}{4}}{\frac{cos(t)+sin(t)}{cos(t)(1+2sin²(t)}}  du   puisque f(t + /4) = (cos(t) + sin(t)/(cos3(t) + 3cos(t)sin²(t))

Quand x est dans J et que t se promèbe entre 0 et x - /4  , t reste dans  ]-/2 , +/2[  et  (cos(t) + sin(t)/(cos3(t) + 3cos(t)sin²(t))  peut sécrire  (1 + tan(t))(1 + tan²(t))/(1 + 3tan²(t)) .
On a donc  F(x) = H(tan(x-/4)  - H(0)  si  H est une primitive de  u (1 + u)/(1+3u²)
On peut prendre H : x    \frac{1}{\sqrt{3}}Arctan(u\sqrt{3) }  + \frac{1}{6}ln(1 + 3u²) .

On a donc  ,  pour x J  , F(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}Arctan((x - \frac{\pi}{4 })\sqrt{3) }  + \frac{1}{6}ln(1 + 3(x - \frac{\pi}{4 })²)   .


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