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Probleme d ouverts et de fermés
Bonsoir a tous,
J éprouve quelque difficultés à montrer que cet ensemble n est ni un ouvert ni un fermé :
A={x^2-y^2>0, (x-1)^2+y^2
4}
J ai remarque que c etait une intersion d un ouvert et d un fermé. Faut il prendre un point "critique"
? Passer par le complémentaire?
Je ne vois pas trop comment m y prendre.
Merci d avance pour vos réponses
Bonsoir aliasalea.
En plus du dessin suggéré par matheuxmatou (que je salue) :
Considère le point (3;0) : il est dans A. Mais que peux-tu dire des boules de centre (3;0) et de rayon 1/n ?
Considère le point (0;0) : il n'est pas dans A. Mais que peux-tu dire de la suite n 
(1/n;0) ?
bonsoir jsvdb
ben oui, une fois qu'on a le dessin sous les yeux on voit tout de suite quels points considérer pour aboutir...
Bah oui à condition d'avoir une convention pour les frontières exclues. Comme disait un de mes profs : quand t'as la croûte, tu dessines en trait plein, si tu rentres direct dans la mie, tu dessines en pointillés.
Bonsoir,
Ah ok, si on prend une boule ouverte de centre (3,0) il contiendra des points extérieurs à A. Donc ce n est pas un ouvert. Ensuite si on considere cette de point le point d accumulation de 1/n n est pas dans A donc du coup ce n est pas un ouvert. Et conclut que ce n est ni l un ni l autres ? Mais il n y a pas de methode systematique ça depend vraiment de l ensemble ?
il faut apprendre correctement les définitions !
le fait qu'une boule centrée sur (3;0) ne soit pas contenue dans A ne prouve strictement rien !
et quel charabia ! la topologie cela se rédige correctement !
prouve rigoureusement :
avec le point (3;0) que A n'est pas ouvert ;
avec le point (0;0) que A n'est pas fermé .
En fait, c'est amusant, parce que dans les deux cas, on peut prendre une suite qui converge (dans l'espace ambiant) vers chacun des deux points. Mais pour l'un, la suite sera extérieure à A, tandis que pour l'autre, la suite sera intérieure à A.
c'est peu normal car utiliser un point "du bord" pour montrer que A n'est pas ouvert revient à utiliser ce point pour montrer que le complémentaire n'est pas fermé ! 
Merci pour toutes vos réponses,
le fait que cet ensemble puisse contenient sa frontière nous dis déjà qu il ne s agit pas d un ouvert. Donc on prend un point de cela ici (3,0) et on definit une boule centré en ce point de rayon r. Et on s aperçoit qu il y a des points qui n appartiennent pas à A ce qui contrevient à la definition d un ouvert. Par contre j ai quelques soucis de representation, j arrive à me rendre conmpte geometriquement que ce point pose probleme. En fait je n arrive pas à dessiner x^2-y^2>0
. On dessine juste la droite x et on prend ce qu il y au dessus de y?
tu es en L2 de math ?
déjà l'ensemble {M(x;y) ; y²<x²} est symétrique par rapport aux axes et à O
donc il suffit de l'étudier dans le premier quadrant et de symétriser la chose obtenue...
et dans le premier quadrant cela signifie tout bêtement 0<y<x
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