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Problème de barycentre

Posté par
matto7712
05-10-13 à 10:33

Bonjour,

J'ai pour problème de calculer les coordonnées du barycentre d'un triangle (intersection des 3 médianes) à partir des coordonnées des sommets.
L'expression des coordonnées ne doit dépendre que des coordonnées des sommets (dans ce cas xA,xB,xC,yA,yB,yC).
L'énoncé oblige de d'abord calculer les équations des médianes puis de chercher leur point d'intersection.

J'ai donc calculé avec succès les équations des médianes, cependant quand j'essaie de trouver leur point d'intersection je me retrouve sur une fraction qui prend la largeur d'une feuille A4 en paysage (ce qui n'est pas la solution je le crains...).

Pourriez-vous m'éclairer sur le sujet? Tout d'abord quelle est la réponse que je dois obtenir, et deuxièmement quelle méthode utiliser pour y arriver?

D'avance merci,
matto7712

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Problème de barycentre 05-10-13 à 10:39

Bonjour,
avec l'énoncé et tes calculs on pourrait voir où tu as fait une erreur...si tu en a fait une

Posté par
Priam
re : Problème de barycentre 05-10-13 à 10:40

Tu devrais trouver pour coordonnées de ce barycentre les moyennes arithmétiques de celles des points A, B et C.

Posté par
matto7712
re : Problème de barycentre 05-10-13 à 10:47

Merci pour cette réponse si rapide

Tout d'abord l'énoncé:

Citation :
On demande de déterminer les coordonnées du barycentre - c'est-à-dire du point d'intersection des trois médianes - du triangle ABC. Les réponses seront des expressions - plus ou moins compliquées - ne dépendant que de xA, xB, xC, yA, yB et yC.

Le détail des calculs comprendra au moins l'équation de chacune des trois médianes du triangle en question (en termes de xA, xB, xC, yA, yB et yC), ainsi que la résolution du système d'équations correspondant.


Mon calcul suivra (parce qu'il est assez long )

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Problème de barycentre 05-10-13 à 10:56

oui effectivement c'est assez long et fastidieux à calculer

Posté par
matto7712
re : Problème de barycentre 05-10-13 à 11:02

Je pose d'abord tous les points connus dans le plan:
A(xA,yA)
B(xB,yB)
C(xC,yC)
Les centres des côtés:
D((xB+xC)/2, (yB+yC)/2)
E((xA+xC)/2, (yA+yC)/2)
F((xA+xB)/2, (yA+yB)/2)
Jusque-là, tout va bien

Maintenant on calcule les équations de deux des médianes (notamment AD et BE):
AD: y = m1 x + q1
BE: y = m2 x + q2

m1 = (((yB+yC)/2)-yA)/(((xB+xC)/2)-xA) = (yB+yC-2yA)/(xB+xC-2xA)
= (-2yA+yB+yC)/(-2xA+xB+xC)

yA = m1.xA + q1 <=> q1 = yA - m1.xA
q1 = yA-((-2yA+yB+yC)/(-2xA+xB+xC))xA
après calculs:
q1 = (-xA.yB-xA.yC+xB.yA+xC.yA)/(-2xA+xB+xC)

==> AD: y = ((-2yA+yB+yC)/(-2xA+xB+xC)).x + (-xA.yB-xA.yC+xB.yA+xC.yA)/(-2xA+xB+xC)

Pour BE, on reprend l'équation de AD en inversant xA <-> xB, yA <-> yB:

==> BE: y = ((yA-2yB+yC)/(xA-2xB+xC)).x + (xAyB-xByA-xByC+xCyB)/(xA-2xB+xC)

Tu me suis jusque-là? Désolé c'est fait à l'arrache mais je pense que je vais plutôt scanner mes feuilles ^^

Posté par
matto7712
re : Problème de barycentre 05-10-13 à 11:07

@Priam: oui j'ai remarqué ça aussi, en cherchant un peu ^^ Malheureusement ne n'est pas à ça que j'arrive...

Posté par
Priam
re : Problème de barycentre 05-10-13 à 15:10

G étant le barycentre en cause, on peut écrire la relation vectorielle   OA + OB + OC = 3OG .



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