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Problème de construction

Posté par
COTLOD
15-08-18 à 22:08

Bonjour,
voici un problème pour lequel je pense avoir trouvé une solution mais je me demande s´il n´y a une solution plus simple.
On considère les droites sécantes (AD) et (AF), le point E est sur le segment [DF].
Il faut construire une droite passant par E qui coupe (AD) en I et (AF) en J, telle que DI = FJ.

Pour ma construction, j´utilise le point d´intersection G de la bissectrice de l´angle DAF avec le cercle circonscrit au triangle DAF. Le cercle circonscrit au triangle DEG recoupe (AD) en I.

Problème de construction

Posté par
lake
re : Problème de construction 16-08-18 à 08:39

Bonjour,

Elle est très bien ta construction; que lui reproches-tu ?

Encore faut-il la justifier. Une chasse aux angles ?

  Problème de construction

Posté par
lake
re : Problème de construction 16-08-18 à 08:51

Au fait, il existe une seconde solution ...

Posté par
lake
re : Problème de construction 16-08-18 à 09:01

Pour compléter:

  Problème de construction

Posté par
COTLOD
re : Problème de construction 16-08-18 à 09:47

Pour la justification : (IE) coupe (AF) en J.

Les angles GAF et GDF interceptent le même arc du cercle (DAF), les angles GDE et GIE interceptent le même arc du cercle (DGE), donc les angles GAJ et GIJ sont égaux et les points I, A, J, G sont cocycliques.

On en déduit que les angles GJI et GIJ sont égaux car ils interceptent des arcs dans le cercle (IAJ). De même dans le cercle (DAF), les angles GDF et DFG sont égaux, or dans le cercle (DGE) les angles GDE et GIE interceptent le même arc donc tous les angles précédents sont égaux en particulier GJE et GFE d´où les points G, E, F, J sont cocycliques et les angles JGF et JEF sont égaux. De même, dans le cercle (DGE), les angles DGI et DEI sont égaux, donc on a les angles JGF et DGI égaux.

Des égalités d´angles précédentes on déduit que les triangles DGF et IGJ sont isocèles en G, d´où DG = GF et IG = GJ, donc les triangles DGI et FGJ sont un angle égal compris entre des côtés respectivements égaux, d´où DI = FJ.

Ouf, je me demande s´il n´y a pas des étapes en trop.

Posté par
lake
re : Problème de construction 16-08-18 à 09:55

Oui, deux triangles isocèles GDF et GIJ et deux triangles \cancel{\text{égaux}} isométriques GDI et GFJ.

Tu as sans doute remarqué qu'il n'y avait aucune raison de privilégier une bissectrice de l'angle \widehat{A} par rapport à l'autre; d'où la seconde solution.

Si je peux me permettre: documente toi sur les "quadrilatères complets" et leurs "points de Miquel" éventuellement avec une petite recherche sur le net.

Posté par
COTLOD
re : Problème de construction 16-08-18 à 10:12

Je n´avais pas pensé à la deuxième bissectrice, j´ai tendance à l´oublier.
Merci pour le point de Miquel, cela répond tout à fait à mon questionnement.

Posté par
lake
re : Problème de construction 16-08-18 à 10:15

De rien COTLOD

Posté par
lake
re : Problème de construction 16-08-18 à 11:34

J'ai des regrets;

Problème de construction

On construit G et H intersections du cercle ADF et de la médiatrice de [DF].

Soit ((AD),(AF))=\theta (angle de droites défini à \pi près)

On utilise les deux rotations r_H et r_G respectivement de centres H et G et d'angles \theta et \theta +\pi

Elles envoient la droite (AD) sur la droite (AF) avec:

   r_H(D)=F et r_G(D)=F

r_H envoie le cercle HDE sur le cercle HFE et r_H(I')=J'

r_G envoie le cercle GDE sur le cercle GFE et r_G(I)=J

C'est un petit peu la même chose mais je préfère cette interprétation.

Posté par
COTLOD
re : Problème de construction 16-08-18 à 12:01

Comment justifier que r_H envoie le cercle HDE sur le cercle HFE ?

Posté par
COTLOD
re : Problème de construction 16-08-18 à 12:03

pardon, I´ est défini comme second point d´intersection de (AD) avec DHE ?

Posté par
lake
re : Problème de construction 16-08-18 à 13:02

Citation :
Comment justifier que r_H envoie le cercle HDE sur le cercle HFE ?


Deux cercles c_1 et c_2 de rayons identiques se coupent en H et E,; soit r_H la rotation de centre H qui envoie l'un sur l'autre. Si M \in c_1, r_H(M)=M'\in c_2 et M,E,M' sont alignés.
Voir par exemple le paragraphe 6 ici:

On a la même propriété plus générale avec la similitude directe de centre l'un des points communs envoyant deux cercles sécants (de rayons différents) l'un sur l'autre.

Citation :
I´ est défini comme second point d´intersection de (AD) avec DHE ?


oui et J' est le second point d'intersection de (AF) et HFE

Même chose avec les points I,J et G

Posté par
lake
re : Problème de construction 16-08-18 à 13:15

Je crois que mon lien ne marche pas; en voici un nouveau (le paragraphe 6):  

Posté par
COTLOD
re : Problème de construction 16-08-18 à 13:22

On se sert donc de la réciproque, sachant que D, E, F sont alignés...
Merci cette fois pour cette autre approche.

Posté par
lake
re : Problème de construction 16-08-18 à 13:24

Citation :
On se sert donc de la réciproque, sachant que D, E, F sont alignés...


Toutafé!

Et encore une fois de rien COTLOD

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