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Problème de construction
Bonjour,
voici un problème pour lequel je pense avoir trouvé une solution mais je me demande s´il n´y a une solution plus simple.
On considère les droites sécantes (AD) et (AF), le point E est sur le segment [DF].
Il faut construire une droite passant par E qui coupe (AD) en I et (AF) en J, telle que DI = FJ.
Pour ma construction, j´utilise le point d´intersection G de la bissectrice de l´angle DAF avec le cercle circonscrit au triangle DAF. Le cercle circonscrit au triangle DEG recoupe (AD) en I.
Bonjour,
Elle est très bien ta construction; que lui reproches-tu ?
Encore faut-il la justifier. Une chasse aux angles ?
Pour la justification : (IE) coupe (AF) en J.
Les angles GAF et GDF interceptent le même arc du cercle (DAF), les angles GDE et GIE interceptent le même arc du cercle (DGE), donc les angles GAJ et GIJ sont égaux et les points I, A, J, G sont cocycliques.
On en déduit que les angles GJI et GIJ sont égaux car ils interceptent des arcs dans le cercle (IAJ). De même dans le cercle (DAF), les angles GDF et DFG sont égaux, or dans le cercle (DGE) les angles GDE et GIE interceptent le même arc donc tous les angles précédents sont égaux en particulier GJE et GFE d´où les points G, E, F, J sont cocycliques et les angles JGF et JEF sont égaux. De même, dans le cercle (DGE), les angles DGI et DEI sont égaux, donc on a les angles JGF et DGI égaux.
Des égalités d´angles précédentes on déduit que les triangles DGF et IGJ sont isocèles en G, d´où DG = GF et IG = GJ, donc les triangles DGI et FGJ sont un angle égal compris entre des côtés respectivements égaux, d´où DI = FJ.
Ouf, je me demande s´il n´y a pas des étapes en trop.
Oui, deux triangles isocèles et
et deux triangles
isométriques
et
.
Tu as sans doute remarqué qu'il n'y avait aucune raison de privilégier une bissectrice de l'angle par rapport à l'autre; d'où la seconde solution.
Si je peux me permettre: documente toi sur les "quadrilatères complets" et leurs "points de Miquel" éventuellement avec une petite recherche sur le net.
Je n´avais pas pensé à la deuxième bissectrice, j´ai tendance à l´oublier.
Merci pour le point de Miquel, cela répond tout à fait à mon questionnement.
J'ai des regrets;
On construit et
intersections du cercle
et de la médiatrice de
.
Soit (angle de droites défini à
près)
On utilise les deux rotations et
respectivement de centres
et
et d'angles
et
Elles envoient la droite sur la droite
avec:
et
envoie le cercle
sur le cercle
et
envoie le cercle
sur le cercle
et
C'est un petit peu la même chose mais je préfère cette interprétation.
Comment justifier que
Deux cercles
Voir par exemple le paragraphe 6 ici:
On a la même propriété plus générale avec la similitude directe de centre l'un des points communs envoyant deux cercles sécants (de rayons différents) l'un sur l'autre.
I´ est défini comme second point d´intersection de (AD) avec DHE ?
oui et
Même chose avec les points
On se sert donc de la réciproque, sachant que D, E, F sont alignés...
Merci cette fois pour cette autre approche.
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