On ma parlé d'une démonstration en considérant les groupes et notamment en tenant compte du théorème de lagrange.
Est-ce possible.

Je ne sais pas si on peut utiliser le théorème de lagrange, je l'ai rarement utilisé pour montrer qu'un ensemble était infin parcontre il suffit je pense de montrer qu'un élément de cette forme la est congru à 0 modulo n.
En effet car si par exemple 111 est congru à 0 modulo n
alors il est assez direct que
il suffit dans le cas général de considérer l'application g qui va de Z/nZ dans Z/nz tel que g(x)=10x+1 qui nous crée par récurrence la suite des éléments de la forme 11....111
il est aisé de montrer que si g(x)=0[n] alors


il reste donc a montré qu'il existe un élément divisible par n de la forme 11...11

sur un autre forum j'ai eu cette reponse qui reste assez flou, peux tu m'aider a mieux la comprendre stp

C'est vraiment très simple, moyennant le théorème d'Euler, on a puisque 9n est premier avec 10, 10^phi(9n)=1(mod(9n)), par conséquent, pour tout entier k on a 10^(k phi(9n))=1(mod(9n)), ce qui veut dire que pour tout entier k : n divise 11. 11 ( il y k phi(9n) chiffres 1 dans l'écriture décimale ) .( la démonstration du th d'Euler peut être faite avec le th de Lagrange ou même qu'avec des notions de terminale )

Bonjour alex220,bonjour titimarion ;
je crois que tu as raison alex220 car si n est premier avec 10 ,9n est aussi premier avec 10 qui est donc dans (Z/9nZ)* (groupe des éléments inversibles de l'anneau Z/9nZ ) ce groupe étant fini si p est son cardinal le théorème de lagrange donne que 10^p = 1 [9n]
tu as donc pour tout entier m (10^p)^m=10^pm=1[9n] ie 9n divise tous les entiers de la forme 10^pm - 1 ie n divise tous les entiers de la forme (10^pm - 1 )/9 = 1+10+100+..+10^(pm-1)=1111..1 (pm fois).

pLUSIEURS DEMO SURemonstration sur:

http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?f=2&i=104473&t=104406