Bonsoir,

Je bute sur une question de dénombrement et j'aurai besoin d'un peu d'aide.
On place n>=4 points (A1,A2,...,An) dans le plan tels que 3 d'entre eux ne soient jamais alignés.
Et on trace toutes les droites les joignant 2 à 2.

Il s'agit de donner le nombre d'intersections de ces droites qui sont différentes des points initiaux

Pour n = 4 par exemple, il y en a 3 (apres pour n>4 ça commence à devenir difficile à tracer).


J'ai quand même tenté quelque chose :
Il y a exactement n(n-1)/2 droites.
J'ai calculé le nombre N d'intersections possibles (pas toujours distinctes donc) : N =

Ensuite je me suis dit qu'il fallait enlever toutes les intersections qui correspondent à un Ai.
Pour un seul Ai, il y en aurai , puisque chaque Ai est traversé par n-1 droites.

Et comme il y a n points Ai il faudrai enlever N' = n*

Ce qui donnerai au final : N - N'.

Voila, je ne suis pas du tout sur, j'ai peut être commis des erreurs de raisonnements.
Et même si cela est juste, je ne sais pas trop comment le rédiger (parce que là j'ai surtout expliqué simplement...)

Si quelqu'un peut me donner son avis.
Merci

Nil.