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Problème de dérivation
Bonjour,
J'ai un problème qui me donne du mal étant donné qu'il me manque certainement une formule que j'ai dû oublier. Le problème est le suivant :
Une pompe alimente un vase de forme tétraédrique à base carrée. Elle est réglée de manière que le niveau d'eau y monte de 1 cm par minute. Le tétraèdre a pour caractéristique que la hauteur a la même longueur que les côtés de la base. Après combien de temps le débit de la pompe dépassera-t-il les 100 cm3/min ?
Je ne comprends pas vraiment comment appliquer la dérivée ici.
Bonjour,
Doit-on supposer que le tétraèdre est posé sur sa pointe ?
Tu dois commencer par exprimer le volume de la partie remplie en fonction de la hauteur remplie avec les formules donnant le volume du tétraèdre.
On te donne une information :
Le tétraèdre a pour caractéristique que la hauteur a la même longueur que les côtés de la base.
Suppose-le simplement assez haut, et calcule son volume non pas à partir de sa base mais à partir de son sommet.
Oui, donc (1/3)h3
C'est effectivement le volume rempli si on suppose que le tétraèdre est posé sur son sommet et se remplit par la base qui est en haut.
Il faut comprendre que h est une fonction du temps, qu'on va désigner par t.
On parlera donc de h(t). On te dit :
le niveau d'eau y monte de 1 cm par minute
Comment traduis-tu cette information en termes mathématiques ?
h c'est une longueur, elle s'exprime en centimètres.
On te donne une information en centimètres par minute, c'est un taux de variation, et un taux de variation d'une fonction dérivable il est donné par sa dérivée. Donc tu as :
h'(t) = 1 cm/min
Paux-tu en déduire h(t) ?
Ensuite, ce qu'on te demande, c'est un débit :
Après combien de temps le débit de la pompe dépassera-t-il les 100 cm3/min ?
Sachant que tu connais le volume en fonction de h (je t'aide un peu, là...), comment vas-tu trouver le débit en fonction du temps ?
Désolé de paraitre bête mais je ne comprends pas bien les dérivées et le professeur n'y est pas resté longtemps puisque c'était des rappels. Je comprends comment dériver mais je ne vois vraiment pas comment utiliser la dérivée ici. je vois juste que h(t)=t cm/min avec cette information...
je vois juste que h(t)=t cm/min avec cette information
C'est bien, on va en avoir besoin plus tard.
Ici la variation du volume en fonction du temps est égale au débit de la pompe.
Si j'appelle D(t) ce débit en fonction du temps, alors :
D(t) =V'(t)
Mais tu ne connais pas directement V en fonction de t, seulement en fonction de h qui est lui-même une fonction de t : V(h(t))
Donc
D(t) = V(h(t))'
Il s'agit de dériver une fonction composée. Sais-tu comment faire ?
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