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Problème de dérivation

Posté par
Eva225 11-09-21 à 16:26

Bonjour voici mon sujet :

Un palet de centre de gravité G, immergé dans un milieu visqueux, est accroché à deux ressorts identiques R1 et R2 tendus entre deux points A1 et A2. On écarte le palet et on lui inflige une impulsion. (Voir photo)
Sur la droite (A1A2), on choisit le repère (O;OI)  où O est le milieu de [A1A2] et le vecteur OI un vecteur de même sens que le vecteur A1A2 et de longueur 1cm. On suppose ici que les frottements ne sont pas négligeable à cause du fluide et que la vitesse initiale n'est pas nulle. On se propose d'analyser le mouvement du point G sur la droite (A1A2), en étudiant l'abscisse x(t) du point G en fonction du temps (en s). La fonction associé à ce mouvement est définie sur [0;+~[ par x(t)=2e^-5(1+8t)

1) Déterminer x'(t)
      On rappelle que x'(t) Elle a vitesse instantanée à l'instant t.
2)a. Quelle est la position initiale de G?
    b. Quelle est la vitesse initiale de G?
    c. Déterminer une équation de la tangente T À la courbe représentative de la fonction x au point d'abscisse 0.
    
3) Étudier le signe de x'(t) sur [0;+~[
4) en déduire le tableau de variation de la fonction x sur [0;+~[
5) À quel instant l'abscisse du point G est elle au maximum ?

Pouvez-vous m'aider à la réalisation de cet exercice s'il vous plaît.
Merci d'avance

Problème de dérivation

Posté par
malou Webmasterre : Problème de dérivation 11-09-21 à 16:35

Bonjour
bien sûr qu'on peut t'aider
qu'es-tu trouvé pour 1) ? comment dérives-tu cette fonction ?

Posté par
Eva225re : Problème de dérivation 11-09-21 à 16:52

Très bien, merci beaucoup !

Alors, j'ai commencé par simplifier l'expression x(t)=2e^-5(1+8t) , ce qui m'a donné x(t) = 2e^-5+16te^-5. Puis j'ai décomposé l'expression pour pouvoir la dériver :
u=2e^-5t    u'=-10e^-5t
v=16te^-5t   v'=?

Je n'arrive pas a deriver v...

Posté par
Eva225re : Problème de dérivation 11-09-21 à 17:12

Finalement, je pense avoir trouvé :

x(t)=2e^-5t(1+8t)
       =2e^-5t+16te^-5t

u=2e^-5t       u'=-10e^-5t
v=16te^-5t   v'= u=16t        u'=16
                                     v=e^-5t    v'=-5e^-5t
            
                                =u'v+v'u
                                =16*e^-5t-80te^-5

X'(t)=u'+v'
         =-10e^-5t+16e^-5t-80te^-5t
         =6e^-5t-80te^-5t

Pouvez-vous me dire si il y'a des erreurs ? Et me guider pour la question 2)a. ? S'il vous plaît

Posté par
heklare : Problème de dérivation 11-09-21 à 17:36

Bonjour

Quel est le texte exactement ?

x(t)=2\text{e}^{-5}(1+8t) ou x(t)=2\text{e}^{-5(1+8t)}
Dans une autre écriture apparaît un t

serait-ce alors  x(t)=2\text{e}^{-5t(1+8t)} ou x(t)=2\text{e}^{-5t}(1+8t)

Posté par
Eva225re : Problème de dérivation 11-09-21 à 17:49

Bonjour,
C'est bien la première notation, c'est à dire :
x(t)=2e^-5t  (1+8t)

Problème de dérivation

Posté par
heklare : Problème de dérivation 11-09-21 à 18:10

D'accord  

u(t)= 2\text{e}^{-5t} \quad u'(t)=-10\text{e}^{-5t}

v(t)=(1+8t)\quad v'(t)=8

x'(t)= 10\text{e}^{-5t}(1+8t)+16\text{e}^{-5t}

x'(t)=2\text{e}^{-5t}\left(5(1+8t)+8) à simplifier

Posté par
Eva225re : Problème de dérivation 11-09-21 à 18:25

Très bien, merci !!!!
Grâce à la simplification j'ai pu trouver la dérivée de x(t):

X'(t)=26e^-5t+80te^-5t

Pouvez-vous me guider de la même manière  pour la suite des questions ? S'il vous plaît

Merci d'avance

Posté par
heklare : Problème de dérivation 11-09-21 à 18:37

Vous n'avez pas intérêt à développer  vous chercherez un signe donc autant avoir un produit de facteurs

x'(t)=2(40t+13)\text{e}^{-5t}

Position  ou vitesse initiale on a donc t=0

2 c équation d'une tangente

3) étude de x'(t) cela se résume au signe de  ?

Posté par
Eva225re : Problème de dérivation 11-09-21 à 18:47

D'accord pour la première question !

Mais je n'ai pas compris comment je dois trouver la position et la vitesse initiale de G?

Posté par
heklare : Problème de dérivation 11-09-21 à 18:50

En calculant x(0) pour la position initiale et x'(0) pour la vitesse initiale

Posté par
Eva225re : Problème de dérivation 11-09-21 à 19:22

Ahh d'accord !!
Du coup pour la position initiale de G j'ai trouvé x(0)=2 et pour la vitesse initiale de G j'ai trouvé x'(0)=26

Enfin pour la tangente j'ai trouvé :

T=26x+2
Est-ce juste?

Posté par
heklare : Problème de dérivation 11-09-21 à 19:51

Non  deux raisons 1)T n'est pas une ordonnée  2) l'inconnue est t

x=26(t-0)+2

Posté par
Eva225re : Problème de dérivation 11-09-21 à 20:21

Ahh oui c'est vrais !!

J'ai essayé de faire la 3, et j'ai trouvé :

X'(t)=2e^-5  (13+40)
      
2e^-5t  (13+40t)=0
2e^-5=0  ou 13+40t=0
                                     40t=-13
                                           t=-13/40

Donc 2e^-5(13+40t)<ou = 0 sur [0;+~[

Pour la 4 J'ai trouvé

X                                  -~    -13/40       0        +~

2e^-5t                             +               +    0  -  
(13+40t)                         -      0       +         +
2e^-5t(13+40t).        -      0        +   0   -


Et pour la 5 j'ai répondu :

On en déduit que l'abscisse du point G est au maximum sur [-13/40 ;0]


Est ce que il y a des erreurs ?

Merci d'avance

Posté par
heklare : Problème de dérivation 11-09-21 à 20:51

Il faudrait vous relire.    Là vous avez bu les t  !

x'(t)=2(40t+13)\text{e}^{-5t}

pour tout t,\ 2\text{e}^{-5t}>0 par conséquent le signe de x'(t)

est celui de 40 t+13

40 t +13 \geqslant 0 \quad  t \geqslant -\dfrac{13}{40}

Il y a donc des erreurs : vous avez écrit \text{e}^{-5t} >0 à un certain moment Il ne doit y avoir que des + sur votre première ligne.


Le fait de résoudre f(x)=0 ne vous renseigne en rien sur le signe de f(x)  il faut alors résoudre f(x) >0

Que vaut x\left(\frac{-13}{40}\right) \\

Posté par
Eva225re : Problème de dérivation 12-09-21 à 01:28

Très bien, alors voici :
3) x'(t)=2e^-5t(13+40t)

2e^-5(13+40t) >=0
2e^-5t>=0   ou   13+40t>=0
                                             40t>=-13
                                                   t>=-13/40

Pour tout t, 2e^-5t>0 , par conséquent le signe de x'(t) est celui de 13+40t.

4)

X           -~              -13/40          +~        
2e^-5t.      +.                       +
(13+40t).  -              0.       +
f'(x).            -                           +
f.                 —> -  -16e^13/8 /5    —>+

f(-13/40)= 2e^-5*(-13/40)  (1+8*(-13/40))
                     =-16e^13/8 /5

5) on n'en déduit que l'abscisse du point G est au maximum sur [-13/40 ; +~[

Alors qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance

Posté par
heklare : Problème de dérivation 12-09-21 à 09:58

En refaisant le tableau de variation  je me suis aperçu avoir fait une erreur  
ce n'était pas cohérent
oubli d'un signe -

u(t)= 2\text{e}^{-5t} \quad u'(t)=-10\text{e}^{-5t}

v(t)=(1+8t)\quad v'(t)=8

x'(t)={ \color{red}{-}}10\text{e}^{-5t}(1+8t)+16\text{e}^{-5t}

x'(t)=2(-40t+3)\text{e}^{-5t}

x(0)=2\quad x'(0)=6

x=6t+2 éq de la tangente

Problème de dérivation


maximum pour t=3/40 et abscisse \approx2,2

Désolé pour l'erreur je pense que cette fois, c'est correct je n'ai pas fait toutes les questions

Posté par
Eva225re : Problème de dérivation 12-09-21 à 12:41

D'accord, très bien ! Merci beaucoup, pour votre aide!!!

Posté par
heklare : Problème de dérivation 12-09-21 à 12:46

N'oubliez pas la question 3,  de  refaire les calculs.

De rien.  Désolé encore.


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