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Problème de dérivées et géométrie
Je donne de temps en temps un peu d'aide a mon jeune voisin,
qui m'a posé une colle...
Il a eu a résoudre l'exercice suivant en controle (et n'a
pas réussi, pas plus que moi, d'ailleurs.) :
Soit C un cercle de centre O et de rayon R.
(Delta) est la droite tangente à C en un point A.
(d) est la droite parallèle à (Delta) et coupe C en M et N.
P et Q sont les projections orthogonales de M et N sur (Delta).
Où doit se situer la droite (d) pour que la diagonale du rectangle MNPQ
soit maximale ?
Merci d'avance pour votre aide.
Jean-Claude
une methode:
travailler en coordonnées:
on pose OA = axe des x
et la perpendiculaire à OA= axe des y
ca revient a lire la figure dans un sens donné....
l'equation de delta est x=R
l'equation de d est a avec a dans [-R,R] a est l'inconnue
les points Met N on tpoour coordonnées
M(a,rac(R2-a2))
N(a,-rac(R2-a2))
les points Pet Q:
P(R,rac(R2-a2))
Q(R,-rac(R2-a2))
le vecteurs PN s'ecrit:
(a-R,-rac(R2-a2)-rac(R2-a2))
=(a-R,-2rac(R2-a2))
la distance PN est donc:
rac[ (a-R)2 + 4(R2-a2)]
=rac[a2+R2-2aR+4R2-4a2]
=rac(5R2-2aR-3a2]=f
on veut le max donc on derive en a(c'est la variable)
f'=(-2R-6a)/(2rac(5R2-2aR-3a2))
qui s'abnnule en
a=-2R/6=-R/3
ce qui donne la position de d...probleme resolu
remarque:
la distance PN vaut alors rac(5R2+2R2/3-R2/3)
=rac(16R2/3]=4R/rac(3)
la distance MN est 2rac(R2-a2)=2rac(R2-R2/3)
=2rac(2R2/3)=2rac(2)R/rac(3)
on a donc PN/MN=rac(2) ca qui veut dire que le rectangle MNPQ est en
fait ....un CARRE !!!! c'est beau non?
A+
guillaume.
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