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Problème de geométrie

Posté par geogeo54 (invité) 10-09-05 à 16:47

Bonjour,
Pourriez m'aider à résoudre la question 3 de ce problème?
Voici l'énoncé :
C est un cercle de centre O et de rayon 1 pour une unité choisie. A, B, C sont 3 points de ce cercle disposés comme suit :
\widehat{BOA} = 90° et \widehat{BOC} = 120°

La perpendiculaire à (AC) passant par B coupe (AC) en K
La perpendiculaire à (BC) passant par O coupe (BC) en H
1. Calculer en degrés les mesures des angles du triangle ABC
   \widehat{CAB} = 60°
   \widehat{BCA} = 45°
   \widehat{CBA} = 75°

2a. Calculer BA et BH
   BA = \sqr{2}
   BH = 0.866

2b. En déduire que BC = \sqr{3}
   OB = OC et H est la perpendiculaire à (BC) passant par O.
   Donc le triangle BOC est isocèle en O et H le milieu de (BC)
   ==> BH + CH = BC ==> BC = 0.866 + 0.866 = 1.73
   Le triangle KBC est rectangle en K, en appliquant Pythagore on obtient
       KB^2 + KC^2 = BC^2
   ==>  BC^2 = 1.73^2 = 3 ==> BC = \sqr{3}

3. Démontrer que
                     \sqr{2}
             AC = --- \times (\sqr{3} + 1)
                     2

     ?????????

Merci d'avance

Posté par
cinnamonre : Problème de geométrie 10-09-05 à 17:01

Salut,

je n'ai pas tout vérfié mais évite les valeurs approchées dans tes calculs.

Posté par
caylusProblème de geométrie 10-09-05 à 20:07

Bonjour,

I)
1. \widehat{BCA}=?45°
En effet, le tr BOC est isocèle (|BO|=|OC|=1.
2.\widehat{BCO}=180°-120°=>\widehat{BCO}=30°
On raisonne de même avec le tr OCA: =>\widehat{OCA}=(180°-150°)/2=15°

2. \widehat{CAB}=?60°
Le tr AOB est un tr rect isocèle.=>\widehat{OAB}=45°
\widehat{OCA}=\widehat{OAC}=15°

3. 180°-45°-60°=75°

IIa. Calculer |BA|,|BH|

|BH|=\frac{\sqrt{3}}{2}
En effet, soit L l'image de O par la symétrie d'axe BH.
\widehat{CBO}=30°,\widehat{CBL}=30°
=>\widehat{LBO}=60°
Le tr LBO est donc équilatéral et la hauteur vaut \frac{\sqrt{3}}{2}

Démonstration: appliquer le th de Pythagore au tr HBO avec |BO|=1,
|OH|=\frac{1}{2}

IIb. |BC|=2.|BH|=\sqrt{3}

III.

|CK|=|KB| car tr CKB isocèle rect (angle à la base de 45°)
2.|CK|^2=|BC|^2=3
=>|CK|=\sqrt{\frac{3}{2}}

|AK|=|=\frac{\sqrt{2}}{2} (par un même raisonnement que pour |BH|

On aura |CA|=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2.\sqrt{3}+2}{\sqrt{2}.2}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}.(\sqrt{3}+1)}{2}
















Problème de geométrie

Posté par geogeo54 (invité)re : Problème de geométrie 11-09-05 à 13:20

Bonjour,

Tout d'abord merci pour ta réponse!
Cependant je crois qu'il y a une faute (ohoh) en effet je ne pense pas que
[ck]^2=[bc]^2 (car bkc est isocéle rectangle et non pas equilatéral!!?! ainsi l'hypothénuse ne peut pas être égale a un coté.)
De plus je n'ai pas trop compris le calcul de AK moi je pense le calculer a l'aide
de la trigonométrie ( qu'en penses tu?).
Merci d'avance!!

Posté par
caylusProblème de geométrie 11-09-05 à 17:54

Bonjour geogeo54,

Voici ce que j'ai écrit :
"|CK|=|KB| car le triangle CKB isocèle et rectangle (angle à la base de 45°)"

En appliquant le th de Pythagore au tr CKB"
|BC|^2=|CK|^2+|BK|^2
Or |CK|=|BK| donc
deux fois |CK|^2=|BC|^2
2.|CK|^2=\sqrt{3}.sqrt{3}
|CK|^2=\frac{3}{2}
=>|CK|=\sqrt{(\frac{3}{2})}

Je n'ai jamais écrit que "ainsi l'HYPOTENUSE ne peut pas être égale a un coté."

|BA|=\sqrt{2} car le tr OAB est isocèle et |OA|=|OB|=1.

Si on peut utiliser la trigono : cos(60°)=1/2

Dans le tr BAK, on a: cos\widehat{KAB}=\frac{|AK|}{|BA}
|AK|=\frac{1}{2}.\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Posté par
caylusProblème de geométrie 11-09-05 à 18:12


re,

on a donc: |BA|=|BA'|=|A'A|=2.|KA| car K est milieu de [A'A]
donc |KA|=\frac{\sqrt{2}}{2}

Problème de geométrie


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