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Probleme de limite (regle de l'Hospital)
Salut! Voici mon probleme :
Je dois evaluer la limite lorsque x tent vers 0+ de:
sin(x) / (1-cos(x^1/2))
Lorsqu'on tente d'evaluer la limite une premiere fois, indetermination de la forme 0 / 0. On emploie donc la regle de l'Hospital, qui demande de trouver la derivee de la premiere equation, ce qui nous donne :
(-(2*(cos(x^(1/2))-1)*x^(1/2)*cos(x))+sin(x^(1/2))*sin(x)) / (2(cos(x^(1/2))-1)^2*x^(1/2)
Rendu la, evaluer la limite nous donne toujours 0 / 0... on peut tenter de mettre le plus petit exposant de x en evidence mais il va rester comme denominateur sous le sin(x^(1/2))*sin(x). Ce sont les x^(1/2) et les (cos(x^(1/2))-1) qui donnent toujours 0 et dont on ne peut se debarasser.
Que faire rendu la?
J'ai deja trouve la derive, et meme apres l'avoir trouve elle donne toujours 0 / 0.
(-(2*(cos(x^(1/2))-1)*x^(1/2)*cos(x))+sin(x^(1/2))*sin(x)) / (2(cos(x^(1/2))-1)^2*x^(1/2)
A cause des x^(1/2) et de (cos(x^1/2)-1) qui donnent 0, le reste de l'equation donne aussi 0.
mais t'es obligé de passer par la règle de l'hopital ? nan parce que sinon tu peux passer par encadrement puis theoreme des gendarmes(je sais meme pas si tu en as besoin vraiment en plus) ... -1<sin(x)<1 et -1<cos(x^(1/2))<1 , par de la dejà!
la dérivée de sin(x) est cos(x) dont la limite en 0 est ...
la dérivée de 1-cos(x^(1/2)) est (1/2)*sin(sqrt(x))/sqrt(x) dont la limite en 0 est ...
mais la regle de l'hopital marche , ça tend vers 2.
sin(x)'= cos(x) et (1-cos(x^1/2))'=sin(x^1/2)/2(x^1/2)
d'après la regle de l'hopital , lim f(x)/g(x)=lim f'(x)/g'(x)
on a donc f'(x)/g'(x)= 2(x^1/2)cos(x)/sin(x^1/2)
or lim X->0 sin(X)/X = lim X->0 X/sin(X)=1 dc lim x->0 (x^1/2)/sin(x^1/2)=1
il te reste dc juste lim x->0 2cos(x)=2
dc la limite de fonction est 2.
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