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Probleme de math sur les suites
Salut a tous!! Donc, voilà j'ai un probleme a faire en math et j'arrive pas a tout faire, je vous donne l'enoncé :
Soit f la fonction définie sur R-{1/2} par :
f(x)=(x²)/(2x-1)
1.Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
2. On considere la suite Un définie par U0 = 8 et pour tout n appartenant à N, Un+1=f(Un)
a/ represenation graphique
b/ demontrer que (Un) est bornée
c/ étudier le sens de variation de la suite (Un)
d/ Determiner la limite de la suite (Un)
3.On considère les suites (Vn) et (Wn) telles que, pour tout entier naturel n,
Vn =((Un)-1)/Un et Wn=ln(Vn)
(ln = logarithme népérien)
a/ Vérifier que Vn et Wn sont définies pour tout entier naturel n
b/ Démontrer que la suite Wn est une suite géométrique
c/ Exprimer, pour tout entier naturel n, Wn puis Vn en fonction de n
d/) Déterminer alors la limite de chaque suite. Vérifier en particulier que l'on retrouve le résultat de la question 2)c).
voila, en fait ce que j'arrive pas a faire c'est les questions du 3) mais j'ai mis l'ensemble de l'enoncé.
Merci d'avance si vous pouvez m'aidez
Vn et Wn sont bien définies car Un>1 pour tout n donc :
(Un - 1)/Un existe et est >0 donc son logarithme népérien existe aussi.
Pour prouver que Wn est géométrique on simplifie (Wn+1)/Wn en utilisant la relation de récurrence de Un+1 et les propriétés du ln et on trouve que le rapport vaut toujours 2 : donc Wn est géométrique de raison 2 et de premier terme ln(7/8).
Ainsi Wn = 2^n * ln(7/8) et Vn = Exp(2^n * ln(7/8))
Alors Wn -> -inf (car ln(7/8)<0) et donc Vn -> 0.
On en déduit donc que Un -> 1.
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