Je suppose, comme le titre d'indique que tu attends une solution analytique.

Voici une approche :

Dans un repère orthonormé d'origine O :

Equation de OX : y = ax
Equation de OY : y = bx
Equation de OZ : y = cx

Soit P(d ; e) et Q(f ; g)

a, b, c, d, e, f et g sont connus (données du problème).

A appartient à OX, on a donx A(h ; ah)
B appartient à OY, on a donx B(i ; bi)
C appartient à OZ, on a donx C(j ; cj)

Equation de (AC) : y = ((ah-cj)/(h-j))x + hj(c-a)/(h-j)

Et comme P appartient à (AC), on a:
e = ((ah-cj)/(h-j))d + hj(c-a)/(h-j)    (1)

Equation de (BC) : y = ((bi-cj)/(i-j))x + ij(c-b)/(i-j)

Et comme Q appartient à (BC), on a:
g = ((bi-cj)/(i-j))f + ij(c-b)/(i-j)    (2)
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Equation de (AB) : y = ((ah-bi)/(h-i))x + hi(b-a)/(h-i)


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(1) :
e = ((ah-cj)/(h-j))d + hj(c-a)/(h-j)
e(h-j) = (ah-cj)d + hj(c-a)
h = (ej-cdj)/(e-ad+aj-cj)

(2) :
g = ((bi-cj)/(i-j))f + ij(c-b)/(i-j)
g(i-j) = (bi-cj)f + ij(c-b)
i= (jg - jcf)/(g-bf+bj-cj)

Equation de (AB) : y = ((ah-bi)/(h-i))x + hi(b-a)/(h-i)

Remplacer i et j par leurs équivalent trouvés ci-dessus.

On arrive alors à une équation de (AB) dont le seul paramètre est j (abscisse du point A)

Et il reste à montrer que quelle que soit la valeur de j, la droite AB passe par un point fixe.
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Je n'ai pas eu le courage d'aller plus loin dans le développement, mais j'ai entré dans Excel l'équation de (AB) avec évidemment des valeurs imposées pour a, b , c , d , e , f et g
J'ai fait calculer par excel les valeurs correspondantes de h et i données par les formules trouvées et en faisant varier le paramètre j, on constate bien que la droite (AB) passe par un point fixe.

Donc on faisant la fin de l'exercice comme indiqué, on doit arriver au but...
Pour autant qu'on ne se plante pas dans l'écriture des relations, c'est sans difficulté mathématique, mais la longueur des écritures conduit souvent à se planter.
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Il y a  probablement plus court.

Sauf distraction.  

Bonsoir,
effectivement il y a plus cours mais je dois avouer que j'étais plutôt mal parti ; j'avais beaucoup trop inconnues. Je n'avais pas choisi mes équations et les coordonnées des points P et Q.
Voici ce que j'ai :

A (a,0)
B (0,b)
C (c1,c2)
OX : axe des abscisses
OY : axe des ordonnées
OZ : y=x (donc les coordonnées du point C sont égales : c1=c2=c)
P(2,5)
Q(3,4)
------------------------
AC a pour équation : -c x + (c-a) y + ac = 0
AC passe par P(2,5) : -2c + 3c - 5a + ac = 0
=> c = (5a)/(3+a)    (1)

BC a pour équation : -bc x + c y - bc = 0
BC passe par Q(3,4)  : -3bc + 4c - bc = 0
=> b = (4c)/(3(c+1))    (2)

(1) dans (2) : b = 1

AB a pour équation : -x - a y + a = 0
=> y = -x/a + 1

Pour n'importe quelle valeur de a (abscisse du point A), AB passe par le point (0,1)

Bonjour Manto 235
tu as pris un cas très particulier  qui simplifie les calculs mais tu trouves en conclusion que le point fixe est le point B
si B est fixe ,C qui est à l'intersection de BQ et OZ est fixe et A est fixe =>le triangle ABC est fixe
c'est contraire à l'hypothèse
je ne comprends pas comment tu trouves b=1?si on avait b=1 on aurait c=3 et a=9/2 donc A,B,C fixes

Ah oui, effectivement ça ne va pas...

Je recommence autre chose :
A (a,0)
B (0,b)
C (c1,c2)
OX : axe des abscisses
OY : axe des ordonnées
OZ : non défini
P(2,5)
Q(3,4)
---------------------------
AC a pour équation : -c₂ x - (a - c₁) y + ac₂ = 0
AC passe par P(2,5) : -2c₂ - (a - c₁)5 + ac₂ = 0
=> 5c₁ + c₂(a - 2) - 5a = 0
=> a = (5c₁ - 2c₂)/(5 - c₂)

BC a pour équation : (b - c₂) x + c₁ y - c₁b = 0
BC passe par Q(3,4) : (b - c₂)3 + 4c₁ - c₁b = 0
=> c₁(4 - b) - 3c₂ + 3b = 0
=> b = (4c₁ - 3c₂)/(c₁ - 3)

A(a,0) et B(0,b)
AB a pour équation : x/a + y/b = 1
En remplaçant avec les valeurs de a et b trouvées ci-dessus :
y (c₁-3)/(4c₁-3c₂) + x (5-c₂)/(5c₁-2c₂) = 1
=> y(c₁-3)(5c₁-2c₂) + x(5-c₂)(4c₁-3c₂) = (4c₁-3c₂)(5c₁-2c₂)

Après on choisit au moins 3 valeurs pour le point C(c₁,c₂) et on devrait trouver le même point commun (le point cherché) lors de la résolution des équations.

bonjour,
le point C décrit une droite passant par O (qui ne passe ni par A ni par B )donc d'équation y=mx tu as donc la relation c₂=mc₁ avec m donné
l'équation que tu trouves pour AB ne va donc dépendre que du paramètre c₁ si tu remplaces
c₂par mc₁
tu essaies?
il me semble que tu vas être ramené à une équation de ma forme(Ax+By+C)c₁+(A'x+B'y+c')=0
le point fixe est alors le point dont les coordonnées vérifient le système
Ax+By+D=0
A'x+B'y+D'=O

il faut faire attention quand tu divises par (5-c₂),(c₁-3)