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problème de maths
Bonsoir, je bute sur le problème suivant et j'aurais vraiment besoin d'aide. pourriez vous me donner des indications vite fait? merci d'avance ..... pour vos réponses.
A l'instant t = 0 (t est exprimé en heures), on injecte dans le sang une dose de 1,8 unité d'une substance
médicamenteuse. On suppose que la substance se répartit instantanément dans le sang et qu'elle est ensuite
progressivement éliminée.
On note Q(t) la quantité de substance présente dans le sang à l'instant t, exprimée en unités adaptées.
On admet que le processus d'élimination peut se présenter mathématiquement par l'équation différentielle
Q0(t) = −xQ(t), où xest un nombre qui sera déterminé expérimentalement.
1. Vérifier que Q(t) = 1,8e−xt .
Sachant qu'au bout d'une heure, la quantité de substance présente dans le sang a diminué de 30%, en
déduire une équation vérifiée par x.
2. On décide de réinjecter une dose analogue à l'instant t = 1 (au bout d'une heure), puis t = 2, t = 3,
etc ... On note Rn la quantité de substance présente dans le sang à l'instant t = n.
a) Exprimer Rn+1 en fonction de Rn.
b) Montrer que, pour tout entier n, on a : Rn = 6(1−(0,7)n+1)
c) Déterminer la limite de Rn quand n tend vers l'infini
désolé d'avoir mis un texte aussi long mais c juste pour que vous puissiez mieux me guider.
1-
Q'(t)=-x*Q(t)
Q'(t)/Q(t)=-x
en intégrant selon t :
ln(Q(t))=-xt+c
Q(t)=exp(-xt+c)=exp(-xt)*exp(c)=K*exp(-xt) avec K=exp(c) une cte.
A t=0, on a Q(0)=1,8=K*e(0*x)=K donc K=1,8
d'ou Q(t)=1,8*exp(-xt)
t est exprimée en heure, donc au bout d'une heure on a :
Q(1)=1,8*exp(-x)=1,8-(0,3*1,8) (diminué de 30%)
on a donc 1,8*exp(-x)=1,8*0,7
soit exp(-x)=0,7
donc x=-ln(0,7)
2) Chaque heure marque l'élimination de 30% (autrement dit il ne reste que 70%) de la qté de médicament dans le sang. On ajoute 1,8 à cette quantité
a) Rn+1=Rn*0,7+1,8 qui est une suite récurrente d'ordre 1 affine.
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