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Problème de maths (fonctions/limites/suites)
Bonsoir,
J'ai un problème de mathématiques sur lequel je taffe dont voici l'énoncé.
Soit f(x) la fonction définie sur les réels par f(x) = x / (x2+x+1
1. Justifier que f est définit est dérivable : Fait, et j'ai dérivé la fonction.
2. Etudier les variations de f(x) sur les réels : Fait à partir du signe de la dérivée.
3. J'ai un graphique qui donne la représentation graphique de f sur l'intervalle [0;1]
Je peux conjecturer que la suite U(n) est strictement décroissante pour tout n entier naturel et que sa limite quand n tend vers + l'infini est 0.
On considère la suite U(n) définie par U0 = 1 et Un+1 = f(Un)
J'ai construit les 4 premiers termes de la suite sur le graphique qui sont U0, U1, U2 et U3 respectivement 1; 1/3; 3/13 et 39/217
4. Démontrer que pour tout entier naturel non nul, f(1/n) est inférieur ou égal à 1/n+1.
C'est la que je bloque. J'ai réduit f(1/n) et j'ai trouvé que f(1/n) = f(n) mais ce n'est probablement pas la bonne méthode.
5. En déduire par récurrence que pour tout entier naturel non nul, Un est comprise entre 0 et 1/n tout deux inclus.
Je pense pas bloquer la dessus mais j'ai un peu de mal pour montrer l'hérédité.
6. Démontrer les deux conjectures de la question 3
Bonsoir,
pour calculer f(1/n), il suffit de remplacer x par 1/n dans f.
Après quelques calculs, vous devriez arriver à 1/n+1
Bonsoir et merci de votre réponse,
J'ai remplacé 1/n par x dans f mais je ne trouve pas du tout 1/n+1
D'ailleurs f(1/n) n'est pas égal à 1/n+1 : par exemple pour n=1
1/n+1 = 1/2
f(1/n) = 1/n / (1/n)^2 + 1/n +1 = 1/3
J'ai par contre simplifié 1/n / (1/n)^2 + 1/n +1 en n/(n^2+n+1) mais c'est précisément pour démontrer que cette expression est inférieure à 1/n+1 que je bloque
bonsoir,
C'est ce à quoi j'aimerais bien arriver mais je tombe sur f(1/n) = n/(n2+n+1)
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