Bonjour

Qu'est-ce que tu n'arrives pas à faire ?

Bonjour bmkmika

Qu'est-ce qui te pose particulièrement souci ? As tu essayé de démarrer ?

@+

Zouz

je vous mets mon début de réponse mais je dois d'abord le taper sur le pc...

1.a. d'aprè la formule du cour : lim de ln(1+h)/h = 1 quand h tend vers 0.
Donc f(x) tend vers 1 et come f(0)=1, f est dérivable en 0.

Bonjour,

1. Pour la limite de f en 0 : c'est une limite vue en cours.

2.a. Calcul de g'(x). On doit trouver normalement :
On peut en déduire le sens de variation de g et, comme g(0)=0, on peut en déduire facilement le signe de g(x) d'où l'inégalité demandée ... sauf qu'il y a une erreur dans l'inégalité. Il faut lire sans doute :


2.b. Il faut faire pareil avec la fonction h(x)=ln(1+x)-(x-x²/2)

Pour la question 2.a. il faut bien que je calcule la dérivé de g(x) pour trouver le sens devariation ?
la dérivé est-elle bien égale à :
f ' = [1/(1+x)] -1 + 2x

j'ai refait mon calcul de dérivé et je trouve bien g ' (x) = -x³/(x+1)
j'avais fait une erreur de signe.

j'ai réussi le calcul de la dérivé, j'en ai déduit le sens de variation de g, calculer g(0)=0 mais je n'arrive pas à démontrer que : ln(1+x) x - (x²/2) + (x³/3) ???

je dois m'absenter 2 heures environ. Merci de répondre à ma dernière question posée svp et je vous donnerai la suite de mon devoir et de mes propositions un peu plus tard. A+.

Rebonjour voila mon problème :
Le plan P est muni d'un repère orthonormal (O;i,j) (unité graphique 3cm)
1. On considère la fonction f définie sur [0;+[ par f(0)=1 et f(x) = (ln(1+x))/x pour x > 0. Préciser la limite de f en zéro.
2.a. Etudier le sens de variation de la fonction g définie sur [0;+] par:g(x)=ln(1+x)-(x-(x²/2)+(x³/3)).
Calculer g(0) et en déduire que sur + :
ln(1+x) x-(x²/x)+(x³/x).

Je n'arrive pas a démontrer la dernière phrase après avoir calculé g(0) qui est égal à 0.
Merci de m'aider svp.

Ça ne m'étonne pas que tu n'arrives pas à la démontrer car, je l'ai déjà dit, l'inégalité à démontrer est :



Or, d'après le signe de g'(x), on peut dire que la fonction g est décroissante sur +, et comme g(0)=0, on a : .

Donc :.

L'inégalité à démontrer s'obtient alors en transposant simplement de gauche à droite...

Quelqu'un a-t-il une autre idée pour cette question car je comprends le raisonnement de patrice mais ce sujet est tiré d'un annale de bac et cela me paraît bizarre qu'il y ait une erreur dans l'énoncé même si je vois parfaitement ce que me dit patrice.
De même, je n'arrive pa à démontrer les 2 inégalités suivantes du 2.b. et 2.c.
Quelqu'un peut-il m'aider svp ?
Merci

C'est bon c'était bien une erreur d'énoncé. Patrice je te remercie.
Par contre je ne vois pas comment prouver que :
ln(1+x) x-(x²/x)  (question 2.b.)
Merci de m'aider.

SVP j'ai besoin d'aide pour les questions 2.b. et 2.c.
Merci d'avance

j'essaie de refaire cet exercice car il me parait interéssant
mais je bloque comme "bmkmika" sur la question 2b et 2c
Pouvez vous m'aiguillez s'il vous plait
Un grand merci davance

vince

slt j'ai meme exo que bmkmika a faire et je bloque sur les inegalitées et sur les derivées pouvez vous m'aider avant la fin de la semaine ( vendredi) car apres je n'aurais pas de temps merci a tous

Bonjour,

Pour la question 2b), il y a encore une erreur dans l'énoncé : il faut lire "démontrer que ln(1+x)x-x²/2"

La méthode est la même :

Posons pour x0 : h(x)=ln(1+x)-x+x²/2.
La dérivée de h est : h'x)=1/(1+x)-1+x=x²/(1+x).
Cette dérivée est positive sur [0;+[
Donc la fonction h est croissante sur [0;+[
Donc le minimum de h est h(0)=0
Donc, pour tout x0 : h(x)0
Donc, pour tout x0 :ln(1+x)-x+x²/20
Donc , pour tout x0 :ln(1+x)x-x²/2

Voila, sauf erreur ...

merci pour ta reponse tu as raison pour la correction
mais je n'arrive toujours pas a derivee g(x)
je te remercie vraiment pour ta reponse et celle a venir peut etre

On a g(x)=ln(1+x)-x+x²/2-x³/3 (mais je ne suis pas très sûr car l'énoncé a tellement varié au cours du fil ...)

Si c'est ça, alors : g'(x)=1/(1+x)-1+x-x²/2

merci pour ta reponse l'enoncé est correct
mais le seul probleme est que je narrive pas a ce resultat de g'(x) et aussi a celui de h'(x) plus haut alors pourrais tu m'expliquer svp

Voila le détail du calcul de g'(x) :

la dérivée de ln u est (ln u)'=u'/u.
ici u(x)=1+x donc u'(x)=1 donc [ln(1+x)]'=1/(1+x)

la dérivée de (-x) est -1 : j'espère que ça va.

la dérivée de kxⁿ est (kxⁿ)'=knx^n-1
Donc [x²/2]'=[(1/2)x²]'=(1/2)2x^2-1=x¹=x
et [x³/3]'=[(1/3)x³]'=(1/3)3x^3-1=x².

Il ne reste plus qu'à recoller les morceaux.

Oups ! en me relisant je m'aperçois que j'avais fait une faute sur la dérivée de g

g'(x)=1/(1+x)-1+x-x²... et non pas g'(x)=1/(1+x)-1+x-x²/2

ce n'est rien pour l'erreur merci pour ton aide precieuse qui m'a permis de finir mon dm a bientot

Bonjour, grace avous j'ai pu suivre les premieres questions mais je n'arrive pas à enchainer meme a deduire du résultat de la question 2.c
merci d'avance

j'ai le même exercice à faire

1. je prouve que f est continue en 0

2. je trouve une dérivée g'(x)= -x^3/(1+x)
g'(x) étant négatif sur [0;+infini[
j'en déduis que g est est décroissante sur le même intervalle
de plus g(0)=0,
donc ln(1+x) est inférieur ou = à x-(x^2)/2+(x^3)/3 pour tout x supérieur ou = à 0

3. je pose soit h(x) = ln(1+x) - (x-(x^2)/2)
h'(x)= (x^2)/(1+x)
h est croissante pour tout x supérieur ou égal à 0
et h(0)=0
donc ln(1+x) est supérieur ou = à (x-(x^2)/2)pour tout x supérieur ou = à 0

4. je déduis des relations trouvées aux questions 2. et 3. que:
-1/2 est inférieur ou = à (ln(1+x)-x)/(x^2), expression elle-même inférieur ou = à -1/2 + x/3
je trouve cette relation égale à :
-1/2 inférieur ou = à ((f(x)-f(0))/(x-0) inférieur ou = à -1/2 + x/3
et là je bloque : je ne sais pas comment prouver que f est dérivable en 0 et que f'(0)= -1/2

je pense ne pas être très loin du résultat puisue je trouve le nombre dérivé mais je ne sais pas comment l'expliquer.
merci de votre aide