Pour la (2) je pense qu'il faut prouver que B est inversible (soit qqch.B=In), ainsi detB=0 mais je ne vois pas comment faire

bonsoir
pour la 1) il me semble que cela marche bien par récurrence

Bonjour
1) récurrence bien sûr.
2) B inversible  et det B=0 c'est incompatible  !!!
Je pense qu'il faut raisonne rpar l'absurde: supposer que det(B)\neq0 .
passer au déterminant dans 1) simplifier et on a une relation qui ne fait intervenir que A et k et puis arriver à une contradiction.

AB=BA+B   par hypothèse  don cla formule est exacte  au rang 1
*on suppose qu'elle est vérifiée  à un certain  rang k

   (1)

on multiplie à droite par B
  (2)
dans le membre de droite de (2) on remplace
par
je te  laisse  terminer

Je suis toujours bloquée avec la récurrence ... Je dois dire que c'est vrai au rang k et prouver au rang k+1 ou dire que c'est vrai au rang k-1 et prouver au rang k ?

C'est le k devant l'identité qui me dérange

Je n'avais pas lu ton message , j'essaie

Merci beaucoup !!!

Pour la question 2 si je trouve comme contradition det(A)=det(kIn+A) , ça suffit ?

Oui mais il faut expliquer où est la contradiction. Est ce que on peut avoir cette égalité pour tout k.

j'ai une solution, peut être pas la plus courte, pour montrer que det(B) est  nul
je considère l'endomorphisme de M_n(R)  défini par
X  ( tu vérifies que c'est bien un endomorphisme de  M_n(r)
on a donc pour tout entier naturel non nul k
donc  si B^k est non nul l'entier naturel k non nul est valeur propre pour et vecteur propre associé
aurait une infinité de valeurs propres ce qui est impossible  car M_n(R) est de dimension finie  donc il existe un entier  r tel que soit la matrice nulle
donc

sauf étourderie de ma part

Bonjour
Veleda  j'aime bien ta démonstration.

Ceci étant  on pouvait finir facilement avec  det(A)=det(kIn+A).
En effet det(kIn+A) est un polynôme en k qui commence par k^n tend vers l'infini quand k
tend vers l'infini....

bonjour jb2017
ta démonstration est sans doute celle attendue par le texte
j'avais pensé aussi à  poser
  polynôme de degré n    admettrait pour zéro tout entier naturel  k non nul