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Problème de moyenne
Bonjour,
Je suis tombé sur ce sujet et j'avoue avoir un peu de mal :
« Trouver 2 nombres différents positifs tels que leur moyenne arithmétique est le palindrome de leur moyenne géométrique ».
J'ai posé (x+y)/2=10a+b et racine(xy)=10b+a mais rien n'est dit que x et y contiennent 2 chiffres.
Bref j'ai besoin de vos lumières !
Tout ce que tu as écrit est correct. Y compris la remarque : rien ne nous dit que x et y contiennent 2 chiffres.
Les nombres x et y doivent ils être entiers ? De ce que je comprends , ce n'est pas obligatoire. Et dans ce cas, c'est facile. A toi de jouer.
Bonjour,
j'ai trouvé une solution avec deux entiers distincts à deux chiffres.
Pour cela j'ai posé et
d'où :
Cliquez pour afficherOn en déduit une solution (la seule je pense) :
Cliquez pour afficherBonjour,
s'il faut comprendre qu'un nombre n2 est le palindrome de n1
quand les chiffres de n2 sont ceux de n1 lus de droite à gauche,
alors je trouve
x=1 et y=1 car (1+1)/2=1
x=1 et y=73 car (1+73)/2=37
x=1 et y=793 car (1+793)=397
etc.
Je suis d'accord avec les résultats de vham et jandri.
Et il y en a bien d'autres.
En fait pour chaque moyenne arithmétique il y a au plus une paire (x, y) qui fonctionne. Ce qui permet d'accélérer grandement la recherche.
Soit la moyenne arithmétique et
la moyenne géométrique. On a
On en déduit et
. Cette solution est valide seulement si
et
est un carré parfait.
Ceci m'a permis de calculer toutes les solutions avec :
Cliquez pour afficherLa condition
En fait ce n'est pas efficace du tout de générer tous les triplets de Pythagore, il y en a beaucoup trop où aucun petit côté n'est le palindrome du grand côté.
La série des moyennes arithmétiques est la série A202386 de l'oeis : 
J'ai lu vos réponses et on dirait qu'on ne peut pas vraiment prouver le couple 32/98 mais l'obtienne en tatonnant ?
Oui hallow1978, il faut tâtonner.
Mais on peut déblayer le terrain assez vite.
Si x et y sont 2 entiers, et que leur moyenne géométrique est un entier, alors, il existe 3 entiers d,X,Y tels que et
. Ca se démontre assez facilement.
Du coup, l'ensemble des couples (x,y) candidats est très réduit.
C'est ce qu'a fait Jandri dans son premier message. Ensuite, avec l'histoire du palindrome, il bâtit une nouvelle équation ... et on avance.
J'ai lu vos réponses et on dirait qu'on ne peut pas vraiment prouver le couple 32/98 mais l'obtienne en tatonnant ?
J'ai essayé de trouver des solutions pour un grand nombre de chiffres. Si on se limite à deux chiffres on peut trouver la solution sans tâtonner ou très peu (quoi que chercher une méthode c'est aussi tâtonner parfois
)
Si on reprend ta notation du début, la moyenne arithmétique est de la forme s=10a+b et la géométrique de la forme g=10b+a.
Avec les équations que je donne dans mon post le 16-05-20 à 13:32,
on sait que (x, y) = (s -
(s²-g²), s + (s²-g²)) = (s - d, s + d).
Ceci impose que que s > g et donc que a > b.
s²-g² = d². Or s²-g² = (10a+b)²-(10b+a)² = (a²-b²)*99 = (a²-b²)*11*3².
On cherche donc d² = a²-b² = (a+b)(a-b) = 11*c².
(a-b) ne peut pas être multiple de 11, donc (a+b) = 11.
On cherche a+b = 11 et a-b = c².
Avec c = 1, on a (a, b) = (6, 5) => (s, g) = (65, 56) => d = 11*3*1 = 33 => (x, y) = (65-33, 65+33) = (32,98). On a trouvé une solution.
Avec c = 2, on a 2b = 11-4 = 7. C'est impossible. En fait on peut éliminer les c pairs.
Avec c = 3, on a (a, b) = (10, 1). a est trop grand, c'est impossible.
Ce n'est pas possible que a-b soit plus grand que 9 donc il n'y a pas de c plus grand que 3.
Et voilà on a trouvé toutes les solutions avec deux digits pour les moyennes. Un tout petit peu de tâtonnement pour trouver c.
on peut aussi remplacer tâtonnement par disjonction de cas ...
Malheureusement, la technique que j'ai utilisée pour deux chiffres se complique pour un plus grand nombre de chiffres. Soit n ce nombre de chiffres.
n = 2 => d² = 99 [1 (a1-a0) ] [1 (a1+a0) ]
n = 3 => d² = 99 [1 (a2-a0) ] [101 (a2+a0)+10 (a1+a1) ]
n = 4 => d² = 99 [111 (a3-a0)+10 (a2-a0) ] [91 (a3+a0)+10 (a2+a1) ]
n = 5 => d² = 99 [101 (a4-a0)+10 (a3-a1) ] [10001 (a4+a0)+1010 (a3+a1)+100 (a2+a2) ]
n = 6 => d² = 99 [11111 (a5-a0)+1110 (a4-a1)+100 (a3-a2) ] [9091 (a5+a0)+910 (a4+a1)+100 (a3+a2) ]
n = 7 => d² = 99 [10101 (a6-a0)+1010 (a5-a1)+100 (a4-a2) ] [1000001 (a6+a0)+100010 (a5+a1)+10100 (a4+a2)+1000 (a3+a3) ]
n = 8 => d² = 99 [1111111(a7-a0)+111110 (a6-a1)+11100 (a5-a2)+1000(a4-a3) ] [909091 (a7+a0)+90910 (a6+a1)+9100 (a5+a2)+1000 (a4+a3) ]
n = 9 => d² = 99 [1010101(a8-a0)+101010 (a7-a1)+10100 (a6-a2)+1000(a5-a3) ] [100000001 (a8+a0)+1000010 (a7+a1)+1000100 (a6+a2)+101000 (a5+a3)+10000 (a4+a4) ]Il semble y avoir un schéma
Résoudre cette équation dans les entiers positifs avec
Tout d'abord bravo à Littlefox
Pour deux chiffre ,j'ai utilisé Excel:
1/ liste des 99 carrés xy=a² puis palindrome de a
2/ recherche de x+y=2a avec xy =a² soit de 2 à 98 possibilités
exemple : 36²=1296 palindrome 63 x 2--->126 soit 1+125 ,2+124 ---->99+27
3/produits correspondants 125 ,248----->2673
4/si xy=1296 on est bon! ce qui n'est pas le cas.
On trouve bien sûr quelques carrés xy =x² =y² ( genre 22²) ; la seule solution x
y est 3136 pour x= 32 et y= 98.
Je n'ai utilisé que 110 colonnes sur 202 lignes.
Comme il n'y a pas de 3 chiffres Excel m' abandonne....pour 4
dpi
On peut réduire à 99 lignes et 4 colonnes en utilisant:
s -> g = palindrome(s) -> x = s +- sqrt(s²-g²)
Ce qui te permettrait de continuer avec 4 digits.
Comment est-ce que tu calcules le palindrome en excel? Tu utilises du vba?
Finalement,
En lisant la condition de Littlefox a²-g² (ou g²-a²) =c² on peut aussi trouver des 4 chiffres:
5265 5625 6565 permettant de traiter trois équations donc 3 solutions pour x et y.
exemple c=a =5625 g=5265 ---> (x+y)=11250 et xy=5265²
----->-x²+11250 x-27 720 225=0 ---->solutions 3645 et 7605
c'est lourd mais......je ne tente pas les 5 chiffres
Allez, dpi. Ce n'était pas très dur
Voici la solution en Excel avec 100001 lignes et 11 colonnes
C'est littéralement l'application des formules que j'ai données avant.
Il y a juste la vérification des solutions où j'ai dû réfléchir un peu plus. Mais c'est juste vérifier qu'aucune des moyennes ne commence par 0, que la solution est entière et que x et différent de y.
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