bonjour dadox

Je suis d'abord désolé pour vous et votre famille.

vous êtes en terminal ou en prépa sup spé?

l'exo est du niveau terminal. en sup spé l'exo me parait insignifiant.

en tout cas, poser exp(ix)=cos(x)+isin(x)

alors: y1=1+exp(ix) et y2=1+exp(-ix).

vous factorisez par exp(ix/2) dans y1 et exp(-ix/2) dans le second.

je vous laisse terminer les calculs.

une fois la factorisation terminée vous verez que c'est évident comme exo.

bon courage encore une fois désolé pour vous et votre famille.

Sans utiliser les exponentielles complexes:

y1= 1 + cos(x) + i sin(x)

|y1|²= (1 + cos(x))² +  sin²(x)
|y1|²= 1 + 2cos(x) + cos²(x) +  sin²(x)
|y1|²= 1 + 2cos(x) + 1
|y1|²= 2(1 + cos(x))

|y1| = V[2(1 + cos(x))]    (avec V pour racine carrée)
|y1| = V[2(1 + cos(x))] est le module de y1.
---
y1 = V[2(1 + cos(x))].[(1/V2).V(1+cos(x)) + i.(1/V2).sin(x)/V(1+cos(x))]

cos(phi1) = (1/V2).V(1+cos(x))

sin(phi1) = (1/V2).sin(x)/V(1+cos(x))

cos(phi1).sin(phi1) = (1/V2).V(1+cos(x)).(1/V2).sin(x)/V(1+cos(x))
cos(phi1).sin(phi1) = (1/2).sin(x)
(1/2).sin(2phi1) = (1/2).sin(x)
sin(2phi1) = sin(x)
Avec x dans [-pi ; pi], comme cos(Phi1) >= 0
2Phi1 = x ->
Phi1 = x/2  (argument de y1)  
------
y2= 1 + cos(x) - i sin(x)

|y2|²= (1 + cos(x))² +  sin²(x)
|y2| = V[2(1 + cos(x))] est le module de y2.
---
y2 = V[2(1 + cos(x))].[(1/V2).V(1+cos(x)) - i.(1/V2).sin(x)/V(1+cos(x))]

cos(phi2) = (1/V2).V(1+cos(x))
sin(phi2) = -(1/V2).sin(x)/V(1+cos(x))

-> phi2 = -phi1 = -x/2
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|y1/y2| = |y1|/|y2| = 1
arg(y1/y2) = arg(y1) - arg(y2) = (x/2)-(-x/2) = x

y1/y2 = cos(x) + i.sin(x)
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Sauf distraction.