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probleme de pgcd ou de ppcm
Posté par angelaudrey (invité)
Bonsoir
Une colonie de vacances accueille 100 enfants au maximum.
Pour une course d'orientation les animateurs doivent faire des groupes du meme nombre d'enfants.
s 'ils font:
des groupes de 5 il en reste 2
des groupes de 3 il en reste 2
des groupes de 4 il en reste 1
Finalement ils réussissent a faire plusieurs groupes du meme nombres d'enfants.
Questions:
- Combien d'enfants y a-t-il dans cette colonie?
- combien d'equipes sont formées?
J'ai pensé utilisé le pgcd ou le ppcm mais je m en sors pas.
J'ai trouvé 3 réponses différentes.
Si quelqu'un pouvait m'aider ma logique est morte.
Merci d'avance
Bonsoir,
Que penser de 17 ?
Soit n le nombre d'enfants de la colonie.
On a:
n=5.k1+2=3.k2+2=4.k3+1
donc n-2=5k1=3k2=> n-2=15.x
4k3=n-1=15.x+1
=>x=1 et k3=4 =>n=4.4+1=17.
Posté par angelaudrey (invité)merci:re : probleme de pgcd ou de ppcm
merci beaucoup pour l'aide.Je vais de ce pas plancher dessus.
merci et bonne semaine a vous
SAlut !
Il faut utiliser le theoreme des restes chinois qui dit que le systeme
x congru a [ b]
x congru a' [b'] admet une unique solution modulo bb' si b et b' sont premiers entre eux...
Je suis en train de revoir la methode de calcul car je ne m'en souviens plus...si je la retrouve, je maile !
euh...Caylus, 17 etant un nombre premier, je vois mal comment ils peuvent faire plusieurs groupes d'une meme nombre d'enfants s'ils sont 17...
Désolé,
je n'avais pas lu
"Finalement ils réussissent a faire plusieurs groupes du meme nombres d'enfants."
re !
ca y'est j'ai retrouve !...par un methode plus rigouruese que le petit bonheur la chance
Donc ton enonce se ramene a la resolution du systeme
x congru 2 [5]
x congru 1 [4]
x congru 2 [3]
Commencons par resoudre le systeme
x congru 2 [5]
x congru 1 [4]
5 et 4 etant premiers entre eux, il existe un unique x modulo 20 qui est solution
Pour trouver une solution on utilise Bezout : on cherche une solution particuliere a 5u+4v =1
Pas besoin de faire Euclide pour voir que (1;-1) est solution particuliere
donc 5 congru 0 [5] et 5 congru 1 [4]
ET -4 congru 1 [5] et -4 congru 0 [4] donc
5*1-4*2 congru 2 [5] et congru 1[4]
donc x congru 5*1-4*2[20]
Donc il faut resoudre le systeme
x congru 17 [20]
x congru 2 [3]
On fait de meme...on cherche une solution particuliere a 20 u + 3v = 1
par Euclide (en le remontant), on obtient (-1;7) solution particuliere
donc 3*7 congru 0 [3] et congru 1 [20]
et -20 congru 1 [3] et congru 0 [20]
-20*2+17*3*7 congru 17 [20] et congru 2 [3]
donc x congru a -20*2+17*3*7 [60] cad x congru 317 [60] donc x = 17 ou 77
Mais 17 etant premier, il est impossible de faire plusieurs groupes d'enfants de meme effectif, donc la solution est 77 en faisant 7 gpes de 11 enfants ou 11 gpes de 7 enfants !
Voilou !