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Niveau Maths sup
probleme de probabilite
Posté par abraha11
Un ordinateur a contracté un virus qui
se propage par courrier électronique. Alice, l'utilisateur de cet ordinateur a 50 amis: chaque jour
elle choisit un ami au hasard (c'est-à-dire avec une probabilité égale p =
1
50) et envoie
lui un email qui contient malheureusement le virus.
Q1. Combien de jours (en moyenne) faudra-t-il avant que tous les 50 amis soient infectés?
(Notez que le même utilisateur peut être sélectionné plus d'un jour, auquel cas
aucune nouvelle infection ne se produit ce jour-là)
Q2. Supposons que 3 mois après l'infection initiale de l'ordinateur d'Alice, le
société antivirus découvre le virus et propose un correctif qui le nettoie
pas d'autres infections). Combien d'amis d'Alice seront déjà infectés au Canada?
ces 3 mois?
salut
en y reflechissant bien on peut modeliser le probleme comme suit ..sauf erreur de compréhension...
pour que les 50 amis soit touchés il faut qu'une periode de n jours s'ecoulent avec des jours avec contaminations et des jours sans contamination , ce qui revient a modeliser les choses par une suite de type 1,1,1,0,01,0,0,1,0,1,0......01 ou le "1" représente une journée ou on a un ami contaminé et "0" une journée pour laquelle aucune nouvelle contamination a lieu. le tout ayant lieu sur n jours au bout duquel tout le monde fini par etre contaminé .
on donc doit trouver une loi en partant de l'idée " 1,1,1,0,01,0,0,1,0,1,0......01 " sur n jours en posant X une va aleatoire = aux nombre de jours écoulés jusqu'a contaminations de tout les amis .
la proba d'obtenir du "1" est p =1/50 et celle d'obtenir du "0" est 1-p
sur une periode de longueur k ou ( k jours ) on doit avoir des séquences du type
1,1,1,0,01,0,0,1,0,1,0......01. , ou pendant k-1 jours on a 49 "1" et (k-50) "0"
et on va calculer les dispositions des "1" et des "0" pendant les k-1 jours on va donc avoir
P(X=k)=C (k-1,49).p49.(1-p)k-50.p = C (k-1,49).p50.(1-p)k-50.
ensuite en calculant E(X)= 
k.P(X=k) tu aura l'esperance du nombre de jours qu'il faudra attendre avant que tout le monde soit contaminé
...voila l"idée ...je ne pense pas etre dans le faux