Bonsoir,

Question 1 :

(u+v)² = (u+v).(u+v)
= u.u + u.v + v.u + v.v
= u² + u.v + v.u + v²

Donc

||u+v||² = ||u||² + u.v + v.u + ||v||²
||u+v||² = ||u||² + 2u.v + ||v||²

Merci beaucoup!
J'avais fait la même chose mais je pensais que cela n'était pas une preuve exacte mais en y réfléchissant ça l'est totalement!

Il aurait bien que tu nous envoie ton calcul !

Krayz  donner les réponses n'est pas la politique de ce forum.

Oui je sais J'ai tendance à donner directement la réponse

Oui désolé, j'avais abouti cependant au meme résultat mais je n'ai pas pensé à en tirer une conclusion définitive !

Aussi pour les autres réponses, je bloque réellement, mis à part la derniere. Mais là mes idées écrites n'apportent rien !

2) Chasles (en vecteur MB = MA+ AB)

Donc MA.MB = quoi ?

Bonsoir adrienadrien
Tu ne nous a pas dit. C'est quoi ta conclusion définitive pour la 1/ ?

Alors si on pose MB=MA+AB
Et MA=MB+BA
Alors j'aboutis à :
MA.MB=MA.MB+MB.AB+BA.MA+BA.AB
Donc : MA.MB=MA.MB+MB.AB+BA.MA
Faut-il factoriser ?

Oui, mais avec cette relation, ||u+v||² = ||u||² + 2u.v + ||v||², tu dois pouvoir répondre à la question posée.
A quelle condition a-t-on ||u+v||² = ||u||² + ||v||² ?

Ahhhhhh si u.v=0 c'est ça ?

Ben oui, ce qui signifie pour les vecteurs u et  v ?

Que u et v sont orthogonaux ?

Voilà, c'est ça. Si u et v sont orthogonaux on a la relation indiquée. Ce n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore.

Je vois merci beaucoup, tout est très clair maintenant sur ce point !

Pour la 2 je te conseille de remplacer MB par MA + AB

Si tu remplaces aussi MA par MB + AB tu vas retomber sur un terme du genre MA.MB .....

MA.MB = MA.(MA + AB)

A toi

MA.MB=MA^2+MA.AB
                 =//MA//^2+MA.AB

Peut on remplacer ici le AB par le 1 de l'énoncé ?

J'avais mal lu la question. On te demande de dire si il existe ou pas un point M tel que



En plaçant le point M sur la droite (AB) à l'extérieur du segment [AB et tel que ]MA .MB = 100.
AB valant 1 , en appelant x = MA on trouve facilement MB en fonction de x,

On a donc une équation du second degré à résoudre qui possède ou pas de solutions.

2) On pourrait aussi faire intervenir le point H projeté orthogonal du point M sur la droite (AB).

En effet avec ce que j'ai écrit on obtient 2 points M qui répondent à la question

M1 un point de la demi droite [BA)
M2 un point de la demi droite [AB)

et bien sur tous les points qui sont les droites perpendiculaires à (AB) en M1 et en M2 sont aussi solutions du problème posé

Bonjour
pour en vecteurs

d'abord si on n'écrit pas en LaTeX il faut faire très attention à ne pas confondre (ni écrire) pour tout aussi bien le vecteur que la mesure du segment AB

MA.MB = //MA//^2+MA.AB
Peut on remplacer ici le AB par le 1 de l'énoncé ?

bein non car le AB écrit ici est le vecteur et l'énoncé dit que
n'a aucun sens.

ce n'est pas pareil !


ensuite l'astuce ici est de faire intervenir le milieu I de [AB] et d'écrire

ce que vous dites (posts croisés) de cet ensemble des M est faux.

Excusez moi, je ne comprends pas bien ducoup ce que je dois faire ?

Prendre la méthode de mathafou.

La mienne permet de trouver 2 points M1 etM2. Le coup des perpendiculaires est complètement fausse.  

ce que j'ai dit

développes et simplifie le produit scalaire que j'ai donné

tu dois au final trouver un cercle.

celui de diamètre M₁M₂ d'ailleurs,
mais inutile de commencer par chercher ces points
à moins de prendre l'énoncé au pied de la lettre : existe-t-il un point M tel que etc
réponse : oui j'ai trouvé M1 (et M2 d'ailleurs) en en cherchant sur la droite (AB) et point barre
qu'il y en ait d'autres ou pas et lesquels on s'en fiche vu la façon dont la question est posée.

utiliser la projection d M sur (AB) est pour un autre problème (MA.AB = 100)
les perpendiculaires de cocolaricotte n'ont rien à voir
d'ailleurs si M est suffisamment loin sur une telle perpendiculaire les deux vecteurs seraient presque confondus (leur différence vecteur AB étant négligeable) et donc MA.MB ≈ MA² ≈ MB² serait aussi grand qu'on veut et pas la constante = 100

Ok j'essaierai cet après-midi, aussi avez vous des pistes pour les deux autres questions svp ?
Bonne journee

question 3 : tout mettre dans le même membre
question 4 : Si //u//=3//v// pense que ce sont des longueurs !

la 3 : par exemple écrire la relation proposée sous la forme u.v - v.w = 0, factoriser et conclure
la question est "un peu sotte" et serait plus intéressante si elle était
"si u.v = v.w alors u = w" (même méthode et même conclusion)

la 4 : trivialement ce n'est vrai que si u et v ont une position particulière.
pas grand rapport avec une "valeur absolue".

Bonsoir, pour la question 2, après avoir créer un RON où I (centre de AB) était l'origine, je trouve MA.MB=x^2+y^2
Donc x^2+y^2=100
             x^2+y^2=10^2
C'est une équation de cercle (qu'on appelera C et dont le centre est C')

Donc tous les points M appartenant au cercle C de centre C'(0;0) et de rayon 10 vérifient la proposition donnée.

Est-ce correct ?

Pour la question 3, peut on conclure après avoir fait v.(u-w)=0 en disant que donc on ne peut aboutir à v=w, et que c'est donx faux ?
Merci

question 2 inutile de prendre un repère pour ça !!
surtout pour faire un calcul faux !
(le rayon de ton cercle est faux parce que ton produit scalaire est faux sans doute parce que les coordonnées de tes vecteurs sont fausses
comme tu ne donnes pas les détails de tes calculs je ne peux pas te dire quelle est exactement l'erreur que tu as faite)

développer le produit scalaire que je donnais évite de se poser ds question sur le choix des vecteurs unitaires obligatoires de ton repère !


la question 3 n'est pas peut on avoir v = w
il faut comprendre le sens en général de "si ... alors ..."
l'énoncé t'affirme que si u.v = v.w alors forcément v = w
le développement obtenu montre des cas où u.v = v.w pour lesquels v n'a aucune raison d'être égal à w (v peut être égal à w ... ou pas)
ni même si l'énoncé était moins stupide d'avoir u = w

Alors pour la question 3 j'ai fait ceci :
MA.MB=(MI+IA).(MI.IB)
MA.MB=MI^2+MI.IB+IA.MI+IA.IB

Or IA et IB sont colineaires de srns contraire, donc IA.IB=0

D'où : MA.MB=MI^2+MI.IB+IA.MI

Dans un RON où I(0;0), A(-1/2;0), B1/2;0) et M(x;y) :

MI^2=(0-x)^2+(0-y)^2
MI^2=x^2+y^2

On a aussi : MI(-x;-y)
IB(1/2;0)
IA(-1/2;0)

Dans ce RON : MI.IB=(-x×1/2)+(-y×0)
MI.IB=-1/2x

De meme : IA.MI=1/2x

Donc MA.MB=(x^2+y^2)-1/2x+1/2x
MA.MB=x^2+y^2

x^2+y^2=100
x^2+y^2=10^2

C'est l'équation du cercle C de centre C'(0;0) et de rayon 10.
Tous les points M appartenant à C vérifient MA.MB=100 lorsque AB=1.

Je ne vois pas où je me suis trompé ...

Or IA et IB sont colinéaires de sens contraire, donc IA.IB=0
faux
c'est IA+IB qui est = 0, IA.IB = -|IA|.|IB| = -1/4

évidemment si maintenant tu pars de ça au lieu de continuer le pur raisonnement vectoriel correct pour écrire des équations

j'aurais pensé que tant qu'à écrire des équations c'était directement les coordonnées de MA (x+1/2; y) et de MB (x-1/2; 0) qui servaient directement de point de départ pour le calcul d'un produit scalaire (et tu devrais trouver le même résultat que le calcul vectoriel bien entendu, avec ce 1/4 que tu as totalement oublié dans ton calcul)

MA.MB = MI² + MI.(IA+IB) + IA.IB se simplifie (correctement) en MA.MB = MI² - 1/4

et il n'y a pas besoin d'équation pour savoir que l'ensemble des points à distance MI = constante (correcte, pas 100) de I est un cercle !!!

* MB (x-1/2; y) bie entendu.

et puis c'est les vecteurs AM et BM que j'ai écrit (décidément faire deux choses en même temps n'est pas très efficace)
ça ne change rien au résultat final car MA.MB = AM.BM quels que soient A, B, M

Ahh je vois maintenant ! Merci beaucoup ! J'ai donc juste à reprendre mon calcul en remplaçant IA+IB par -1/4 et mon résultat sera juste ?

IA.IB pardon

ton nouveau résultat oui.
(en plus j'ai déja tout écrit : MA.MB = MI² + MI.(IA+IB) + IA.IB se simplifie (correctement) en MA.MB = MI² - 1/4)

IA+IB = 0 (d'ailleurs celui là tu l'avais vu via tes équations avec ton +x/2 et -x/2 qui s'éliminent, mais cela se trouve directement sans aucune équation par I milieu de AB, et IA.IB = -1/4 aussi sans équations x, y du tout)

Ok merci beaucoup !
Bonne soirée