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Problème de puissances

Posté par
lanulledesmaths 06-12-13 à 14:06

Bonjour à tous ! Je me prépare au concours de professeur des écoles mais je viens d'un cursus littéraire, ma dernière pratique des maths remonte à la 1ère.

Je dois résoudre un problème de puissances, je connais mes propriétés sur les puissances mais vous allez comprendre pourquoi je n'y arrive pas :

A = 47 x 518

Peut-on affirmer que A comporte 17 chiffres sans utiliser la calculatrice ou poser l'opération ? Vrai ? Faux ? Justifiez !!

Merci pour votre aide !

Posté par
lanulledesmathsre : Problème de puissances 06-12-13 à 14:17

Aidez-moi s'il vous plaît

Posté par
gui_toure : Problème de puissances 06-12-13 à 14:26

Bonjour

Déjà, comment se caractérise le nombre de chiffres en termes de puissances de 10 ? Par exemple, 100, 259 et 999 comptent 3 chiffres ... quel est le point commun de ces nombres ?

Deuxièmement, écrire A=(2^2)^7\times5^{18}=2^{14}\times5^{18}=10^{14}\times\underbrace{5^{4}}_{625}\approx6\times10^{16}

Posté par
lanulledesmathsre : Problème de puissances 06-12-13 à 14:30

Je sais que le chiffre des puissances pour les puissances de 10 indique le nombre de chiffres, mais ici il ne s'agit pas de puissances de 10 donc je suis perdue ...

Je comprends votre raisonnement mais comment passez-vous de 214 x 518 à 1014 x 54 ?

Posté par
gui_toure : Problème de puissances 06-12-13 à 14:35

Citation :
Je sais que le chiffre des puissances pour les puissances de 10 indique le nombre de chiffres,


Mais 100=10² comporte 3 chiffres ...

Citation :
mais ici il ne s'agit pas de puissances de 10 donc je suis perdue ...


Il suffit d'encadrer notre nombre entre deux puissances de 10. En l'occurrence 10^{16}<A<10^{17}.

Citation :
Je comprends votre raisonnement mais comment passez-vous de ... ?


2^{14}\times5^{18}=2^{14}\times5^{14}\times5^{18-14}=(2\times5)^{14}\times5^{4}=10^{14}\times5^{4}

Posté par
lanulledesmathsre : Problème de puissances 06-12-13 à 14:41

Je comprends mieux votre développement, je vous remercie

Mais lorsque nous en arrivons à 1014 x 54, comment prouver si A comporte bien 17 chiffres ? Le nombre des puissances donne-t-il toujours une indication sur le nombre de chiffres du résultat ?

Posté par
gui_toure : Problème de puissances 06-12-13 à 14:43

Et bien 5*5 = 25, donc 5^4 = 25² = 625.

Ainsi, A=625\times10^{14}=6,25\times10^{16}, et donc on peut dire 10^{16}\le A<10^{17} donc A compte ... chiffres. Que valent ces "..." ?

Posté par
lanulledesmathsre : Problème de puissances 06-12-13 à 14:55

Je comprends bien que 1016 A < 1017 mais dans ce cas là, A est inférieur à 1017 et est supérieur ou égal à 1016. Mais s'il est supérieur à l'un et inférieur à l'autre, comment peut-on déterminer le nombre de ses chiffres ?

Posté par
gui_toure : Problème de puissances 06-12-13 à 15:07

Tous les nombres compris entre 10n et 10n+1, mais strictement inférieurs à 10n+1 comportent exactement n+1 chiffres (vrai pour n entier naturel).

Posté par
lanulledesmathsre : Problème de puissances 06-12-13 à 15:08

Donc A compte bien 17 chiffres !

Posté par
gui_toure : Problème de puissances 06-12-13 à 15:10

Oui !


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