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Problème de récurrence
bonjour tout le monde! je viens de faire un exercice mais la réponse me semble incorrecte:
on a Uo=2
Un+1=1+(1/Un)
On me demande de démontrer par récurrence que que pour tt n
, 3/2
Un2
Or, je trouve que 3/2Un5/2
Ou ai-je bien pu faire une erreur?...merci pour votre aide a tous!
a oki lol! dans ma tete il fallait que je trouve un résultat superieur a 2. Merci philoux!
Supposons 3/2 <= U(n) <= 2 pour une certaine valeur k de n.
On a donc 3/2 <= U(k) <= 2
2/3 >= 1/U(k) >= 1/2
1/2 <= 1/U(k) <= 2/3
1 + (1/2) <= 1 + 1/U(k) <= 1 + (2/3)
3/2 <= 1 + 1/U(k) <= 5/3
3/2 <= U(k+1) <= 5/3
et donc a fortiori, on a:
3/2 <= U(k+1) <= 2
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Donc si 3/2 <= U(n) <= 2 est vraie pour une certaine valeur de n, c'est encore vrai pour n+1. (1)
U(0) = 2, --> on a 3/2 <= U(0) <= 2
Comme 3/2 <= U(n) <= 2 est vraie pour n = 0, par (1) c'est aussi vrai pour n = 1.
Comme 3/2 <= U(n) <= 2 est vraie pour n = 1, par (1) c'est aussi vrai pour n = 2.
Comme 3/2 <= U(n) <= 2 est vraie pour n = 2, par (1) c'est aussi vrai pour n = 3.
Et ainsi de proche en proche, 3/2 <= U(n) <= 2 est vraie pour tout n de N.
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Sauf distraction. 
Salut J-P
>BestOf
Un p'tit dessin pour visualiser ta suite comprise entre 3/2 et 2
Philoux
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