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Problème de spé, nombre premier

Posté par
Rowantree 26-12-08 à 10:26

Bonjour!
J'ai un exo de mon DM de spé qui me pose problème...je suis arrivée à résoudre la première question seulement
Je vous poste l'énoncé et les pistes auxquelles j'ai pensé pour que vous puissiez m'aider.

1)Le nombre 211-1 est-il premier?

211-1=2047.Or, 2047 admet 23 comme diviseur premier, et 23 < 2047, donc 211-1 n'est pas premier.

2)p et q étant deux entiers naturels non nuls, quel est le reste de la division par 2p-1 du nombre 2pq=(2p)q?
En déduire que 2pq-1 est divisible par (2p-1) et (2q-1).

Je pensais à une histoire de somme de suite arithmétique de raison 2 mais j'ai essayé et ça n'a rien donné...

3)Démontrer que, si 2n-1 est premier, alors n est premier.La réciproque est-elle vraie?

Je n'y arrive pas...

Merci de votre aide

Posté par
cailloux Correcteurre : Problème de spé, nombre premier 26-12-08 à 11:15

Bonjour,

1)2) 2^{pq}=(2^p)^q=(2^p-1+1)^q=\Bigsum_{k=0}^n\(q\\k\)(2^p-1)^k=1+\Bigsum_{k=1}^q\(q\\k\)(2^p-1)^k

d' où 2^pq\equiv 1\;\;[2^p-1] et 2^{pq}-1 est divisible par 2^p-1

de même 2^pq\equiv 1\;\;[2^q-1] et 2^{pq}-1 est divisible par 2^q-1

3) Si n n' est pas premier, n=pq avec p et q différents de 1.

La question précédente permet de dire que 2^n-1 n' est pas premier.

Par contraposition, si 2^n-1 est premier, alors n est premier.

La réciproque est fausse ton exemple du début est un contre exemple.

Posté par
cailloux Correcteurre : Problème de spé, nombre premier 26-12-08 à 11:16

Aïe des exposants mal placés:

d' où: 2^{pq}\equiv 1\;\;[2^p-1] ...

Posté par
Rowantreere : Problème de spé, nombre premier 26-12-08 à 12:39

Merci beaucoup cailloux j'ai compris!

Posté par
o_0re : Problème de spé, nombre premier 28-12-08 à 13:23

Désolé mais je ne comprends pas comment vous passez de (2^p-1+1)^q à
\Bigsum_{k=0}^n\(q\\k\)(2^p-1)^k ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Problème de spé, nombre premier 28-12-08 à 17:59

Bonjour,

Il s' agit de la formule du binôme de Newton:

(a+b)^n=\Bigsum_{k=0}^n\(n\\k\)a^kb^{n-k}

Posté par
o_0re : Problème de spé, nombre premier 29-12-08 à 22:43

On est censé la connaitre en terminale ?
Merci de ta réponse

Posté par
cailloux Correcteurre : Problème de spé, nombre premier 29-12-08 à 22:59

Voui! on la voit pendant le cours relatif au dénombrement (avec les probabilités)

Posté par
Supernickre : Problème de spé, nombre premier 29-12-08 à 23:05

As-tu déjà vu cette méthode?

2^{pq} = (2^p)^q - 1 + 1 = (2^p - 1)(2^{q-1} + 2^{q-2} ... + 2 + 1) + 1

Posté par
o_0re : Problème de spé, nombre premier 02-01-09 à 10:47

Ah oui là je vois mieux
Merci à vous deux

Posté par
Lola69re : Problème de spé, nombre premier 17-01-10 à 17:46

bonjour,
j'ai le même exercice à faire mais je ne comprends pas la résolution du 3) :s
quelqu'un pourrait m'expliquer? merci d'avance

Posté par
cailloux Correcteurre : Problème de spé, nombre premier 17-01-10 à 17:59

Bonjour,

Si n n' est pas premier, alors 2^n-1 n' est pas premier. (d' après les questions précédentes)

On en déduit que:

Si 2^n-1 est premier, alors n est premier.

La réciproque est fausse avec ce contre exemple:

2^{11}-1=2047=23\times 89

Posté par
sosogoodre : Problème de spé, nombre premier 23-02-16 à 16:49

Bonjour,
J'ai un Dm à faire pendant les vacances du même type, il y a juste la question 2 qui change et qui est divisé en deux parties:

Soit p et q deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.

A) justifier que 2p est congru à 1 modulo (2p - 1) et en déduire que 2pq est congrue à 1 modulo  (2p - 1)

B) démonter que 2pq - 1 est divisible par 2p - 1 et par 2q - 1

Merci de m'aider

Posté par
lakere : Problème de spé, nombre premier 23-02-16 à 17:09

Bonjour,

A) 2^p=(2^p-1)+1 donc 2^p\equiv 1\;\;[2^p-1]

2^{pq }=(2^p)^q\equiv 1^q\equiv 1\;\;[2^p-1]

quant à la B, c' est la même chose qu'au dessus...

Posté par
sosogoodre : Problème de spé, nombre premier 23-02-16 à 17:18

Ah oui d'accord c'était pas si compliqué merci!

Cependant pour la b) je n'ai pas compris lorsque il y a  (qkker) je ne comprends pas à quoi cela signifie, et comment on l'écrit :/ merci d'avance

Posté par
lakere : Problème de spé, nombre premier 23-02-16 à 17:30

Voyons:

2^{pq}\equiv 1\;\;[2^p-1] ou encore:

2^{pq}-1\equiv 0\;\;[2^p-1]

Cela signifie bien que 2^{pq}-1 est divisible par 2^p-1 non ?

Posté par
sosogoodre : Problème de spé, nombre premier 23-02-16 à 18:05

Oui oui bien sur, mais pour montrer qu'il est divisible par 2q - 1
On refait comme à la question A) mais modulo (2q - 1) ?

Posté par
lakere : Problème de spé, nombre premier 23-02-16 à 18:10

Inutile: p et q jouent des rôles symétriques

Posté par
sosogoodre : Problème de spé, nombre premier 23-02-16 à 18:24

Ah d'accord j'ai compris, c'était vraiment pas compliqué Merci beaucoup

Une autre question: j'ai un autre exercice dans mon DM j'ai réussi toutes les autres questions sauf celle ci où je bloque mais je pense que c'est pas très compliqué:

4. Soit n un entier naturel dont le nombre de diviseurs positifs est premier

A) montrer que n admet un unique diviseur premier

B) en déduire le plus petit entier naturel n ayant exactement 17 diviseurs positifs

Merci d'avance

Posté par
lakere : Problème de spé, nombre premier 23-02-16 à 21:05

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C' est la règle sur l'


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