bonjour,
tout d'abord montrons ceci: pour tout n>=1, an=par récurrence,
pour n=1, c'est fait par hypothèse de l'énoncé,
supposons que pour n, on a an=b(n+1)-a(n+1)=(p-q)/(p+q)*(bn-an)
p-q>0
p+q>0
et par hypothèse de récurrence, bn-an>=0
donc b(n+1)>=a(n+1)

maintenant, soit un n donné
a(n+1)>=(p*an+q*an)/(p+q)
a(n+1)>=an
donc (an) est croissante.

tu dois faire de même pour (bn).

donc on a:
pour tout n,
an=d'autre part,
b(n+1)-a(n+1)=(p-q)/(p+q)*(bn-an)
on montre par récurrence (que je te laisse le soin de le faire) que
b(n+1)-a(n+1)=((p-q)/(p+q))^n*(b1-a1)

d'autre part, 0donc ((p-q)/(p+q))^n tend vers 0 quand n tend vers l'infini
ce qui montre que les suites (an) et (bn) ont la même limites, elles
sont adjacentes.
pour ce qui est de la limite, je te la donne plus tard.

excuse moi, mais je ne trouve pas une expression de l.
désolée
peut-être qu'une autre personne pourra t'aider.
par contre, si tu as un problème dans ce que j'ai écrit, n'hésite
pas.

Une idée peut être :

pour tout n>2
a_n+b_n = a_n-1 + b_n-1

Par récurrence on doit donc pouvoir montrer que

a_n + b_n =a1+b₁

comme les suites (a_n) et (b_n) sont convergentes vers
l, la suite (a_n+b_n) converge 2l

et on a donc 2l = a₁+b₁

d'où l=(a₁+b₁)/2

merci dad97, je n'y avais pas pensé.

De rien, j'avoue que c'est toi qui a fait le sale boulot
(montrer que les deux suites sont adjacentes)

merci a vous deux c'est vraiment sympas


@+