Soit n l'âge d'André.

Si André avait soufflé toutes les bougies (sans être malade), il en aurait soufflé:
1 + 2 + 3 + ... + n

soit un total de n(n+1)/2
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On aurait alors: 2000 = n(n+1)/2

4000 = n² + 2n
n² + 2n - 4000 = 0
n = 62,23...

André a donc plus de 62 ans.

Si n = 63 -> n(n+1)/2 = 2016
Donc si il a été malade a 16 ans, il a souflé 2000 bougies à 63 ans.

Si n = 64 -> n(n+1)/2 = 2080
Et c'est impossible, car il ne peut pas avoir été malade à 80 ans alors qu'il n'a que 64 ans.

-> 1 seule solution:
André a 63 ans et a été malade à 16 ans.
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Sauf distraction.  

je te remercie beaucoup d'avoir mit toutes les explications !!