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Problème de suites (géométrique et par récurrence)

Posté par
Stracciatella 28-02-21 à 14:44

Bonjour,
Je ne suis pas très à l'aise avec les suites et j'ai un DM sur ce sujet.
L'exercice qui me pose problème est le suivant:
On considère la suite \left(u_{n} \right)_{n\in IN } définie par \left\lbrace\begin{matrix} u_{0}=2 & \\ u_{n+1}= 3u_{n}-2 & \end{matrix}\right.
pour tout entier naturel n

La suite \left(v_{n} \right)_{n\in {\displaystyle \mathbf {N} } } est défini pour tout entier naturel n, par : v_{n}=u_{n+1}-u_{n}

Voici les questions précédentes pour donner le contexte:
1.  Calculer les 4 premiers termes de chaque suite. (Aucune difficulté ici, je les ai calculé.)
2. Que peut-on conjecturer pour la suite  \left(v_{n} \right)_{n\in {\displaystyle \mathbf {N} } } (Ici j'ai émis l'hypothèse qu'elle était géométrique)
3. Justifier que pour tout entier naturel n :  v_{n+1}=3v_{n} (J'ai justifié que 3 était la raison de la suite en vérifiant \frac{v_{n+1}}{v_{n}}=3 pour les premiers termes de la suite)
4. Montrer que pour tout entier naturel n : S_{n}=3^{n+1}-1
(Comme j'ai démontré que la suite était arithmétique j'ai utilisé la formule de la somme des termes:S_{n}=\frac{v_{0}(1-q^{n+1})}{1-q} ce qui donne bien S_{n}=\frac{2(1-3^{n+1})}{-2}=3^{n+1}-1 )


5. (Enfin, la question problème) En utilisant la définition de \left(v_{n} \right)_{n\in {\displaystyle \mathbf {N} } }, montrer que pour tout entier naturel n : S_{n}=u_{n+1}-2

Ici, j'ai essayé de résoudre 3^{n+1}-1=(3u_{n}-2)-2 en remplaçant S_{n} et u_{n+1} et j'ai obtenu u_{n}=\frac{3^{n+1}+3}{3} qui semble "coller " avec les termes de u_{n} mais je ne suis pas très convaincu que ce soit la bonne voie.

Merci d'avance pour des indices ou des explications pour la question 5 ou des corrections/ rectifications pour les autres questions.

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème de suites (géométrique et par récurrence) 28-02-21 à 14:53

Bonjour

C'est OK, tu as fini! Tu viens de montrer que

u_n=\dfrac{3^{n+1}+3}{3}=\dfrac{3^{n+1}}{3^n}+\dfrac{3}{3} \\

Dans la justification de la question 4 tu parles de suite arithmétique, alors qu'elle est géométrique et que tu la traites comme telle. Je suppose que c'est un lapsus!

Posté par
Stracciatellare : Problème de suites (géométrique et par récurrence) 28-02-21 à 15:04

Ah oui, pardon en effet je voulais dire géométrique
Merci beaucoup pour un retour aussi rapide

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème de suites (géométrique et par récurrence) 28-02-21 à 15:14


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