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Probleme de synthese sur les suites

Posté par
maelys31
12-04-21 à 18:49

Bonjour, j'ai un petit probleme sur l'exercice suivant:
Un lapin se deplace dans un terrier compose de trois galeries,notees A,B et C,dans chacune desquelles il est confronte a un stimulus particulier.
A chaque fois qu'il est soumis a un stimulus,le lapin reste dans la galerie ou il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une etape.
Soit n un entier naturel.
On note an la probabilite de l'evenement: "le lapin est dans la galerie A a l'etape n".
On note bn la probabilite de l'evenement: "le lapin est dans la galarie B a l'etape n".
On note cn la probabilite de l'evenement: "le lapin est dans la galerie C a l'etape n"
A l'etape n=0,le lapin est dans la galerie A.
Une etude anterieure des reactions du lapin face aux differents stimuli permet de modeliser ses deplacements par le systeme suivant:
\left\lbrace\begin{matrix}a_n_+_1=\frac{1}{3}a_n+\frac{1}{4}b_n \\b(indice: n+1)=\frac{2}{3}a_n+\frac{1}{2}b_n+\frac{2}{3}c_n \\c(indice: n+1)=\frac{1}{4}b_n+\frac{1}{3}c_n \end{matrix}\right.
Partie A:
A l'aide d'un tableur,on obtient le tableau de valeurs suivant(l'image du tableau est en bas).
1-Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour remplir la colonne C?
2-Quelle conjecture peut on emettre?
Partie B:
1-On definit la suite (un),pour tout entier naturel n,par un=an-cn.
a)Demontrer que la suite (un) est geometrique en precisant sa raison.
b)Donner,pour tout entier naturel n;l'expression de un en fonction de n.
2_On definit la suite(vn) par vn=bn-\frac{4}7{} pour tout entier naturel n.
a)Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, an+bn+cn=1 et en deduire que pour tout entier naturel n, vn+1=-\frac{1}{6}v_n.
b)En deduire,pour tout entier naturel n,l'expression de vn en fonction de n.
3-En deduire que pour entier entier naturel n,on a:
a_n=\frac{3}{14}+\frac{1}{2}(\frac{1}{3})^{n}+\frac{2}{7}(-\frac{1}{6})^{n}; b_n=\frac{4}{7}-\frac{4}{7}(-\frac{1}{6}) ;c_n=\frac{3}{14}-\frac{1}{2}(\frac{1}{3})^{n}+\frac{2}{7}(-\frac{1}{6})^{n}

Voici ce que j'ai fait:
Partie A:
1-Il faut entrer la formule 2*B2/3+C2/2+2*D2/3  dans la cellule C3.
2-Il semblerait que les suites (an),(bn) et (cn) convergent vers des limites dont les valeurs approches sont respectivement 0,214;0,571 et 0,214.
Partie B:
1-a)Pour tout entier naturel n,on a:
un=an-cn
un+1=an+1-cn+1
u_n_+_1=\frac{1}{3}a_n+\frac{1}{4}b_n-\frac{1}{4}b_n-\frac{1}{3}c_n=\frac{1}{3}(a_n-c_n)=\frac{1}{3}u_n
Par consequent la suite (un) est geometrique de raison q=1/3 et de premier terme u0=1.
b)Pour tout entier naturel n, un=(\frac{1}{3})^{n}

2-a)Le lapin ne peut aller que dans trois galeries donc pour tout entier naturel n on a:
an+bn+cn=1 et an+cn=1-bn.
vn=bn-\frac{4}{7} et bn=vn+\frac{4}{7}.
vn+1=bn+1-\frac{4}{7}=-\frac{1}{6}v_n
(je n'ai pas mis le calcul detaille).
La suite (vn) est donc geometrique de raison q= -1/6 et de premier terme v0= -4/7.
b)Pour tout entier naturel n, vn=-\frac{4}{7}(-\frac{1}{6})^{n}.

3-bn=vn+\frac{4}{7}
bn=\frac{4}{7}-\frac{4}{7}(-\frac{1}{6})^{n}
C'est ici que j'ai un probleme,je ne vois pas comment obtenir an et cn.
Merci beaucoup

Probleme de synthese sur les suites

Posté par
carpediem
re : Probleme de synthese sur les suites 12-04-21 à 18:56

salut

pour écrie en indice b_{n + 1} ...

et écris tout en latex plutôt que des morceaux de formules car c'est peu lisible ...

Posté par
malou Webmaster
re : Probleme de synthese sur les suites 12-04-21 à 18:56

Bonjour
je n'ai rien vérifié,
mais pour ton blocage, si tu as
un=an-cn
et
1-bn=an+ cn

tu fais la somme membre à membre
puis la différence membre à membre

Posté par
maelys31
re : Probleme de synthese sur les suites 12-04-21 à 18:59

D'accord,merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : Probleme de synthese sur les suites 12-04-21 à 19:01

tu connais b_n en fonction de v_n

or a + b + c = 1 donc a + c = 1 - b  (je ne mets pas les indices)

d'autre part tu connais a - c = u_n = ...

donc

a + c = ... (en fonction de n)
a - c = ... (en fonction de n)

et alors tu peux en déduire a_n et c_n ...

Posté par
malou Webmaster
re : Probleme de synthese sur les suites 12-04-21 à 19:05

maelys31 @ 12-04-2021 à 18:59

D'accord,merci beaucoup


de rien à une autre fois sur l'
bonsoir carpediem

Posté par
maelys31
re : Probleme de synthese sur les suites 12-04-21 à 19:06

carpediem @ 12-04-2021 à 19:01

tu connais b_n en fonction de v_n

or a + b + c = 1 donc a + c = 1 - b  (je ne mets pas les indices)

d'autre part tu connais a - c = u_n = ...

donc

a + c = ... (en fonction de n)
a - c = ... (en fonction de n)

et alors tu peux en déduire a_n et c_n ...

D'accord,je vois. Merci beaucoup d'avoir pris le temp de m'aider

Posté par
carpediem
re : Probleme de synthese sur les suites 12-04-21 à 19:07

bonsoir malou

oui un peu moins rapide sur le reste car j'ai pris le temps de relire ...

Posté par
hekla
re : Probleme de synthese sur les suites 12-04-21 à 19:52

Bonsoir

Juste une petite remarque  

Dans le tableur  une formule commence toujours par un signe =

Maintenant bonne soirée



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