Niveau concours

Problème de théorème sur les suites récurrentes

Posté par
H_aldnoer 15-11-09 à 21:10

Bonjour,

pour une suite récurrente définie comme $\Large\{ u_0\in I\\ U_{n+1} = f(U_n)$ où $\Large f : I \to \mathbb{R}$ , je sais fournir un théorème de monotonie de la suite $\Large (U_n)_n$ lorsque f est croissante :

$\Large U_n$ est croissante si $\Large U_1-U_0 > 0$ , $\Large U_n$ est décroissante si $\Large U_1-U_0 < 0$ , $\Large U_n$ est constante si $\Large U_1-U_0 = 0$

Je cherche donc un analogue, dans le cas ou f est décroissante. Je sais que si f est décroissante, alors fof est croissante et on peut se ramener au cas précédent. Mais je n'arrive pas à rédiger l'énoncé du théorème.

Pouvez-vous m'aidez ?
Merci d'avance!

Posté par re : Problème de théorème sur les suites récurrentes 15-11-09 à 21:25

Alors petite précision sur la question :

si une suite $\Large (u_n)_n$ est monotone, alors est-ce que toutes les sous-suites de cette suite on la même monotonie ?
Logiquement, je dirais que oui!

Posté par re : Problème de théorème sur les suites récurrentes 15-11-09 à 21:26

Bonsoir,

Je serai tenté de dire qu'une suite ainsi définie, avec f décroissante, n'est pas monotone... Mais bon... faut que je trouve un bouquin...

Posté par re : Problème de théorème sur les suites récurrentes 15-11-09 à 21:27

Pour la deuxième question, je répondrai comme toi ! A vérifier !

Posté par re : Problème de théorème sur les suites récurrentes 15-11-09 à 21:30

Oui, en fait je viens de voir dans un pdf la chose suivante :
on pose $\Large g=fof$ et alors $\Large (u_{2n})_n$ et $\Large (u_{2n+1})_n$ vérifient $\Large \{u_0\in I\\u_{n+1} = g(u_n)$ . De là on démontre que les suites $\Large (u_{2n})_n$ et $\Large (u_{2n+1})_n$ sont de monotonies contraire et donc que $\Large (u_{n})_n$ n'est jamais monotone!

Merci kioups.